Dixmierova stopa - Dixmier trace

V matematice je Dixmierova stopa, představil Jacques Dixmier  (1966 ), je nenormální^{[je zapotřebí objasnění ]} stopa na prostoru lineární operátory na Hilbertův prostor větší než prostor operátory trasovací třídy. Dixmierovy stopy jsou příklady singulární stopy.

Některé aplikace Dixmieru stopují nekomutativní geometrie jsou popsány v (Connes 1994 ).

Definice

Li H je tedy Hilbertův prostor L^1,∞(H) je prostor kompaktních lineárních operátorů T na H takové, že normou

${ displaystyle | T | _ {1, infty} = sup _ {N} { frac { součet _ {i = 1} ^ {N} mu _ {i} (T)} { log (N)}}}$

je konečný, kde čísla μ_i(T) jsou vlastní čísla |T| uspořádány v sestupném pořadí. Nechat

${ displaystyle a_ {N} = { frac { suma _ {i = 1} ^ {N} mu _ {i} (T)} { log (N)}}}$.

Dixmierova stopa Tr_ω(T) z T je definován pro pozitivní operátory T z L^1,∞(H) být

${ displaystyle operatorname {Tr} _ { omega} (T) = lim _ { omega} a_ {N}}$

kde lim_ω je měřítko-invariantní pozitivní "rozšíření" obvyklého limitu na všechny ohraničené sekvence. Jinými slovy má následující vlastnosti:

• lim_ω(α_n) ≥ 0, pokud jsou všechny α_n ≥ 0 (pozitivita)
• lim_ω(α_n) = lim (α_n) kdykoli existuje běžný limit
• lim_ω(α₁, α₁, α₂, α₂, α₃, ...) = lim_ω(α_n) (měřítková invariance)

Existuje mnoho takových rozšíření (například a Banachův limit z α₁, α₂, α₄, α₈, ...) takže existuje mnoho různých Dixmierových stop. Protože Dixmierova stopa je lineární, rozšiřuje se linearitou na všechny operátory L^1,∞(HPokud je Dixmierova stopa operátora nezávislá na volbě limu_ω pak se zavolá operátor měřitelný.

Vlastnosti

• Tr_ω(T) je lineární T.
• Li T ≥ 0 pak Tr_ω(T) ≥ 0
• Li S je ohraničený pak Tr_ω(SVATÝ) = Tr_ω(TS)
• Tr_ω(T) nezávisí na výběru vnitřního produktu na H.
• Tr_ω(T) = 0 pro všechny operátory třídy trasování T, ale existují kompaktní operátory, pro které se rovná 1.

Stopa φ je nazýván normální -li φ(sup X_α) = supφ( X_α) pro každou ohraničenou rostoucí cílenou rodinu pozitivních operátorů. Jakákoli normální stopa zapnuta ${ displaystyle L ^ {1, infty} (H)}$ se rovná obvyklé stopě, takže stopa Dixmier je příkladem neobvyklé stopy.

Příklady

Kompaktní samoobslužný operátor s vlastními hodnotami 1, 1/2, 1/3, ... má stopu Dixmiera rovnou 1.

Pokud vlastní čísla μ_i pozitivního operátora T mít vlastnost, která

${ displaystyle zeta _ {T} (s) = operatorname {Tr} (T ^ {s}) = sum { mu _ {i} ^ {s}}}$

konverguje pro Re (s)> 1 a rozšiřuje se na meromorfní funkci blízkou s= 1 s maximálně jednoduchým pólem v s= 1, pak Dixmierova stopa T je zbytek v s= 1 (a zejména je nezávislé na volbě ω).

Connes (1988) ukázal, že Wodzicki nekomutativní rezidua (Wodzicki 1984 ) a pseudodiferenciální operátor na potrubí se rovná jeho stopě Dixmier.

Reference

• Albeverio, S .; Guido, D .; Ponosov, A .; Scarlatti, S .: Zvláštní stopy a kompaktní operátory. J. Funct. Anální. 137 (1996), č. 1. 2, 281—302.
• Connes, Alain (1988), "Akce funkční v nekomutativní geometrii", Komunikace v matematické fyzice, 117 (4): 673–683, doi:10.1007 / BF01218391, ISSN  0010-3616, PAN  0953826
• Connes, Alain (1994), Nekomutativní geometrie, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN  978-0-12-185860-5^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Dixmier, Jacques (1966), „Existence de traces non normales“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A1107 – A1108, ISSN  0151-0509, PAN  0196508
• Wodzicki, M. (1984), „Místní invarianty spektrální asymetrie“, Inventiones Mathematicae, 75 (1): 143–177, doi:10.1007 / BF01403095, ISSN  0020-9910, PAN  0728144

Viz také

• Singulární stopa