Parametry Denavit – Hartenberg - Denavit–Hartenberg parameters

Ve strojírenství je Parametry Denavit – Hartenberg (také zvaný Parametry DH) jsou čtyři parametry spojené s konkrétní konvencí pro připojení referenčních rámců k odkazům prostorového kinematický řetězec nebo robotický manipulátor.

Jacques Denavit a Richard Hartenberg představili tuto konvenci v roce 1955 za účelem standardizace rámců souřadnic pro prostorové vazby.^[1][2]

Richard Paul prokázal svou hodnotu pro kinematickou analýzu robotických systémů v roce 1981.^[3]I když již bylo vyvinuto mnoho konvencí pro připevnění referenčních rámců, konvencí Denavit – Hartenberg zůstává populární přístup.

Konvence Denavit – Hartenberg

Běžně používaná konvence pro výběr referenční rámce v robotika aplikace je Konvence Denavit a Hartenberg (D – H) který představil Jacques Denavit a Richard S.Hartenberg. V této konvenci jsou souřadnicové rámce připojeny ke spojům mezi dvěma odkazy tak, že jeden proměna je spojen s kloubem [Z] a druhý je spojen s odkazem [X]. Transformace souřadnic podél sériového robota skládajícího se z n odkazy tvoří kinematické rovnice robota,

${ displaystyle [T] = [Z_ {1}] [X_ {1}] [Z_ {2}] [X_ {2}] ldots [X_ {n-1}] [Z_ {n}] [X_ { n}], !}$

kde [T] je transformace lokalizující koncový odkaz.

Aby bylo možné určit transformace souřadnic [Z] a [X], spoje spojující vazby jsou modelovány buď jako kloubové, nebo jako posuvné spoje, z nichž každý má jedinečnou přímku S v prostoru, která tvoří osu spoje a definuje relativní pohyb dva odkazy. Typický sériový robot se vyznačuje posloupností šesti řádků S._i, i = 1, ..., 6, jeden pro každý kloub v robotu. Pro každou posloupnost řádků S_i a S_i+1, existuje společná normální linka A_i,i+1. Systém šesti kloubových os S_i a pět běžných normálních linií A_i,i+1 tvoří kinematickou kostru typického sériového robota se šesti stupni volnosti. Denavit a Hartenberg představili konvenci, že osám souřadnic Z jsou přiřazeny společné osy S_i a souřadnicové osy X jsou přiřazeny běžným normálkám A_i,i+1.

Tato konvence umožňuje definovat pohyb vazeb kolem společné osy kloubu S_i podle posunutí šroubu,

${ displaystyle [Z_ {i}] = { začátek {bmatrix} cos theta _ {i} & - sin theta _ {i} & 0 & 0 sin theta _ {i} & cos theta _ {i} & 0 & 0 0 & 0 & 1 & d_ {i} 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}},}$

kde θ_i je rotace kolem a d_i je snímek podél osy Z - některý z parametrů může být konstantní v závislosti na struktuře robota. Podle této konvence jsou rozměry každého odkazu v sériovém řetězci definovány pomocí posunutí šroubu kolem běžného normálu A_i,i+1 ze kloubu S_i na S_i+1, který je dán

${ displaystyle [X_ {i}] = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & r_ {i, i + 1} 0 & cos alpha _ {i, i + 1} & - sin alpha _ {i, i +1} & 0 0 & sin alpha _ {i, i + 1} & cos alpha _ {i, i + 1} & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}},}$

kde α_i,i+1 a r_i,i+1 definujte fyzické rozměry spoje, pokud jde o úhel měřený kolem a vzdálenost měřenou podél osy X.

Stručně řečeno, referenční rámce jsou uspořádány následovně:

1. the ${ displaystyle z}$-osa je ve směru osy kloubu
2. the ${ displaystyle x}$-os je rovnoběžná s běžné normální: ${ displaystyle x_ {n} = z_ {n} krát z_ {n-1}}$ (nebo od zn-1)
   Pokud neexistuje žádný jedinečný společný normál (paralelní ${ displaystyle z}$ osy) ${ displaystyle d}$ (níže) je bezplatný parametr. Směr ${ displaystyle x_ {n}}$ je z ${ displaystyle z_ {n-1}}$ na ${ displaystyle z_ {n}}$, jak je znázorněno na videu níže.
3. the ${ displaystyle y}$- osa vyplývá z ${ displaystyle x}$- a ${ displaystyle z}$-osy výběrem, aby to bylo a pravostranný souřadnicový systém.

Čtyři parametry

Čtyři parametry klasické konvence DH jsou zobrazeny červeně, což je ${ displaystyle theta _ {i}, d_ {i}, a_ {i}, alpha _ {i}}$. S těmito čtyřmi parametry můžeme převést souřadnice z ${ displaystyle O_ {i-1} X_ {i-1} Y_ {i-1} Z_ {i-1}}$ na ${ displaystyle O_ {i} X_ {i} Y_ {i} Z_ {i}}$.

Následující čtyři transformační parametry jsou známé jako D – H parametry :.^[4]

• ${ displaystyle d ,}$: posun oproti předchozímu ${ displaystyle z}$ do běžného normálu
• ${ displaystyle theta ,}$: úhel asi předchozí ${ displaystyle z}$, od starých ${ displaystyle x}$ do nového ${ displaystyle x}$
• ${ displaystyle r ,}$: délka běžného normálu (aka ${ displaystyle a}$, ale pokud používáte tuto notaci, nezaměňujte s ${ displaystyle alpha}$). Za předpokladu rotačního kloubu je to poloměr kolem předchozího ${ displaystyle z}$.
• ${ displaystyle alpha ,}$: úhel asi běžné normální, ze starého ${ displaystyle z}$ osa do nové ${ displaystyle z}$ osa

K dispozici je vizualizace parametrizace D – H: Youtube

V rozložení rámu je určitá volba, zda předchozí ${ displaystyle x}$ osa nebo další ${ displaystyle x}$ body podél běžné normály. Druhý systém umožňuje větvení řetězů efektivněji, protože více rámců může všechny směřovat od jejich společného předka, ale v alternativním uspořádání může předek směřovat pouze k jednomu následníkovi. Takto běžně používaná notace umisťuje každý down-chain ${ displaystyle x}$ osa kolineární se společnou normálkou, čímž se získá výpočet transformace zobrazený níže.

Můžeme zaznamenat omezení vztahů mezi osami:

• the ${ displaystyle x_ {n}}$-os je kolmá na obě ${ displaystyle z_ {n-1}}$ a ${ displaystyle z_ {n}}$ sekery
• the ${ displaystyle x_ {n}}$-osa protíná obojí ${ displaystyle z_ {n-1}}$ a ${ displaystyle z_ {n}}$ sekery
• původ kloubu ${ displaystyle n}$ je na křižovatce ${ displaystyle x_ {n}}$ a ${ displaystyle z_ {n}}$
• ${ displaystyle y_ {n}}$ doplňuje pravostranný referenční rámec na základě ${ displaystyle x_ {n}}$ a ${ displaystyle z_ {n}}$

Denavit – Hartenbergova matice

Je běžné oddělit posunutí šroubu do produktu čistého posunu podél čáry a čisté rotace kolem čáry,^[5][6] aby

${ displaystyle [Z_ {i}] = operatorname {Trans} _ {Z_ {i}} (d_ {i}) operatorname {Rot} _ {Z_ {i}} ( theta _ {i}),}$

a

${ displaystyle [X_ {i}] = operatorname {Trans} _ {X_ {i}} (r_ {i, i + 1}) operatorname {Rot} _ {X_ {i}} ( alpha _ {i , i + 1}).}$

Pomocí této notace lze každý odkaz popsat pomocí a transformace souřadnic ze souběžného souřadného systému do předchozího souřadného systému.

${ displaystyle {} ^ {n-1} T_ {n} = operatorname {Trans} _ {z_ {n-1}} (d_ {n}) cdot operatorname {Rot} _ {z_ {n-1 }} ( theta _ {n}) cdot operatorname {Trans} _ {x_ {n}} (r_ {n}) cdot operatorname {Rot} _ {x_ {n}} ( alpha _ {n })}$

Toto je produkt dvou posunutí šroubů „Matice spojené s těmito operacemi jsou:

${ displaystyle operatorname {Trans} _ {z_ {n-1}} (d_ {n}) = left [{ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & d_ {n} hline 0 a 0 a 0 a 1 end {pole}} doprava]}$

${ displaystyle operatorname {Rot} _ {z_ {n-1}} ( theta _ {n}) = left [{ begin {array} {ccc | c} cos theta _ {n} & - sin theta _ {n} & 0 & 0 sin theta _ {n} & cos theta _ {n} & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 hline 0 & 0 & 0 & 1 end {array}} right]}$

${ displaystyle operatorname {Trans} _ {x_ {n}} (r_ {n}) = left [{ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & r_ {n} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 hline 0 a 0 a 0 a 1 end {pole}} vpravo]}$

${ displaystyle operatorname {Rot} _ {x_ {n}} ( alpha _ {n}) = left [{ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 0 & cos alpha _ {n} & - sin alpha _ {n} & 0 0 & sin alpha _ {n} & cos alpha _ {n} & 0 hline 0 & 0 & 0 & 1 end {pole}} vpravo]}$

To dává:

${ displaystyle operatorname {} ^ {n-1} T_ {n} = left [{ begin {array} {ccc | c} cos theta _ {n} & - sin theta _ {n} cos alpha _ {n} & sin theta _ {n} sin alpha _ {n} & r_ {n} cos theta _ {n} sin theta _ {n} & cos theta _ {n} cos alpha _ {n} & - cos theta _ {n} sin alpha _ {n} & r_ {n} sin theta _ {n} 0 & sin alpha _ {n} & cos alpha _ {n} & d_ {n} hline 0 & 0 & 0 & 1 end {array}} right] = left [{ begin {array} {ccc | c} && & R && T &&& hline 0 & 0 & 0 & 1 end {array}} right]}$

kde R je 3 × 3 submatice popisující rotaci a T je submatice 3 × 1 popisující překlad.

V některých knihách je pořadí transformace pro dvojici po sobě jdoucích rotací a překladů (například ${ displaystyle d_ {n}}$a ${ displaystyle theta _ {n}}$) je nahrazen. Protože však nezáleží na pořadí násobení matice pro takový pár, výsledek je stejný. Například: ${ displaystyle operatorname {Trans} _ {z_ {n-1}} (d_ {n}) cdot operatorname {Rot} _ {z_ {n-1}} ( theta _ {n}) = operatorname {Rot} _ {z_ {n-1}} ( theta _ {n}) cdot operatorname {Trans} _ {z_ {n-1}} (d_ {n})}$.

Použití matic Denavit a Hartenberg

Denavitova a Hartenbergova notace poskytuje standardní metodologii pro psaní kinematických rovnic manipulátoru. To je užitečné zejména pro sériové manipulátory, kde se matice používá k reprezentaci pozice (polohy a orientace) jednoho těla vzhledem k druhému.

Poloha těla ${ displaystyle n}$ s ohledem na ${ displaystyle n-1}$ mohou být reprezentovány poziční maticí označenou symbolem ${ displaystyle T}$ nebo ${ displaystyle M}$

${ displaystyle operatorname {} ^ {n-1} T_ {n} = M_ {n-1, n}}$

Tato matice se také používá k transformaci bodu z rámce ${ displaystyle n}$ na ${ displaystyle n-1}$

${ displaystyle M_ {n-1, n} = left [{ begin {array} {ccc | c} R_ {xx} & R_ {xy} & R_ {xz} & T_ {x} R_ {yx} & R_ { yy} & R_ {yz} & T_ {y} R_ {zx} & R_ {zy} & R_ {zz} & T_ {z} hline 0 & 0 & 0 & 1 end {array}} right]}$

Kde nahoře vlevo ${ displaystyle 3 krát 3}$ submatice ${ displaystyle M}$ představuje relativní orientaci dvou těl a vpravo nahoře ${ displaystyle 3 krát 1}$ představuje jejich relativní polohu nebo přesněji polohu těla v rámečkun - 1 reprezentovaný prvkem rámun.

Poloha těla ${ displaystyle k}$ s ohledem na tělo ${ displaystyle i}$ lze získat jako součin matic představujících pózu ${ displaystyle j}$ s ohledem na ${ displaystyle i}$ a to z ${ displaystyle k}$ s ohledem na ${ displaystyle j}$

${ displaystyle M_ {i, k} = M_ {i, j} M_ {j, k}}$

Důležitou vlastností matic Denavit a Hartenberg je, že inverzní je

${ displaystyle M ^ {- 1} = left [{ begin {array} {ccc | c} &&& & R ^ {T} && - R ^ {T} T &&& hline 0 & 0 & 0 & 1 end {pole}} vpravo]}$

kde ${ displaystyle R ^ {T}}$ je jak transpozice, tak inverzní funkce k ortogonální matice ${ displaystyle R}$, tj. ${ displaystyle R_ {ij} ^ {- 1} = R_ {ij} ^ {T} = R_ {ji}}$.

Kinematika

Lze definovat další matice, které představují rychlost a zrychlení těles.^[5][6]Rychlost těla ${ displaystyle i}$ s ohledem na tělo ${ displaystyle j}$ mohou být zastoupeny v rámečku ${ displaystyle k}$ maticí

${ displaystyle W_ {i, j (k)} = left [{ begin {array} {ccc | c} 0 & - omega _ {z} & omega _ {y} & v_ {x} omega _ {z} & 0 & - omega _ {x} & v_ {y} - omega _ {y} & omega _ {x} & 0 & v_ {z} hline 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right] }$

kde ${ displaystyle omega}$ je úhlová rychlost tělesa ${ displaystyle j}$ s ohledem na tělo ${ displaystyle i}$ a všechny komponenty jsou vyjádřeny v rámci ${ displaystyle k}$; ${ displaystyle v}$ je rychlost jednoho bodu těla ${ displaystyle j}$ s ohledem na tělo ${ displaystyle i}$ (tyč). Pól je bodem ${ displaystyle j}$ procházející počátkem rámu ${ displaystyle i}$.

Matici zrychlení lze definovat jako součet časové derivace rychlosti plus rychlost na druhou

${ displaystyle H_ {i, j (k)} = { tečka {W}} _ {i, j (k)} + W_ {i, j (k)} ^ {2}}$

Rychlost a zrychlení v rámci ${ displaystyle i}$ bodu těla ${ displaystyle j}$ lze hodnotit jako

${ displaystyle { dot {P}} = W_ {i, j} P}$

${ displaystyle { ddot {P}} = H_ {i, j} P}$

Je také možné to dokázat

${ displaystyle { dot {M}} _ {i, j} = W_ {i, j (i)} M_ {i, j}}$

${ displaystyle { ddot {M}} _ {i, j} = H_ {i, j (i)} M_ {i, j}}$

Matice rychlosti a zrychlení se sčítají podle následujících pravidel

${ displaystyle W_ {i, k} = W_ {i, j} + W_ {j, k}}$

${ displaystyle H_ {i, k} = H_ {i, j} + H_ {j, k} + 2W_ {i, j} W_ {j, k}}$

jinými slovy absolutní rychlost je součet rodičovské rychlosti plus relativní rychlosti; pro zrychlení je také Coriolisův termín.

Složky matic rychlosti a zrychlení jsou vyjádřeny v libovolném rámci ${ displaystyle k}$ a transformovat z jednoho snímku do druhého následujícím pravidlem

${ displaystyle W _ {(h)} = M_ {h, k} W _ {(k)} M_ {k, h}}$

${ displaystyle H _ {(h)} = M_ {h, k} H _ {(k)} M_ {k, h}}$

Dynamika

Pro dynamiku jsou k popisu setrvačnosti nutné tři další matice ${ displaystyle J}$, lineární a moment hybnosti ${ displaystyle Gamma}$a síly a momenty ${ displaystyle Phi}$ aplikován na tělo.

Setrvačnost ${ displaystyle J}$:

${ displaystyle J = left [{ begin {array} {ccc | c} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} & x_ {g} m I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} & y_ {g} m I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz} & z_ {g} m hline x_ {g} m & y_ {g} m & z_ {g} m & m end {pole}} vpravo] }$

kde ${ displaystyle m}$ je hmota, ${ displaystyle x_ {g}, , y_ {g}, , z_ {g}}$ představují polohu těžiště a členy ${ displaystyle I_ {xx}, , I_ {xy}, ldots}$ představují setrvačnost a jsou definovány jako

${ displaystyle I_ {xx} = iint x ^ {2} , dm}$

${ displaystyle { begin {zarovnáno} I_ {xy} & = iint xy , dm I_ {xz} & = cdots & , , , vdots end {zarovnáno}}}$

Akční matice ${ displaystyle Phi}$, obsahující sílu ${ displaystyle f}$ a točivý moment ${ displaystyle t}$:

${ displaystyle Phi = left [{ begin {array} {ccc | c} 0 & -t_ {z} & t_ {y} & f_ {x} t_ {z} & 0 & -t_ {x} & f_ {y} - t_ {y} & t_ {x} & 0 & f_ {z} hline -f_ {x} & - f_ {y} & - f_ {z} & 0 end {array}} right]}$

Matice hybnosti ${ displaystyle Gamma}$, obsahující lineární ${ displaystyle rho}$ a úhlové ${ displaystyle gamma}$ hybnost

${ displaystyle Gamma = left [{ begin {array} {ccc | c} 0 & - gamma _ {z} & gamma _ {y} & rho _ {x} gamma _ {z} & 0 & - gamma _ {x} & rho _ {y} - gamma _ {y} & gamma _ {x} & 0 & rho _ {z} hline - rho _ {x} & - rho _ {y} & - rho _ {z} & 0 end {array}} right]}$

Všechny matice jsou reprezentovány vektorovými komponentami v určitém rámci ${ displaystyle k}$. Transformace komponent z rámu ${ displaystyle k}$ zarámovat ${ displaystyle h}$ řídí se pravidlem

${ displaystyle { begin {aligned} J _ {(h)} & = M_ {h, k} J _ {(k)} M_ {h, k} ^ {T} Gamma _ {(h)} & = M_ {h, k} Gamma _ {(k)} M_ {h, k} ^ {T} Phi _ {(h)} & = M_ {h, k} Phi _ {(k) } M_ {h, k} ^ {T} end {zarovnáno}}}$

Popsané matice umožňují stručné psaní dynamických rovnic.

Newtonův zákon:

${ displaystyle Phi = HJ-JH ^ {t} ,}$

Hybnost:

${ displaystyle Gamma = WJ-JW ^ {t} ,}$

První z těchto rovnic vyjadřuje Newtonův zákon a je ekvivalentem vektorové rovnice ${ displaystyle f = ma}$ (síla stejná hmotnost krát zrychlení) plus ${ displaystyle t = J { dot { omega}} + omega krát J omega}$ (úhlové zrychlení ve funkci setrvačnosti a úhlové rychlosti); druhá rovnice umožňuje vyhodnocení lineárního a úhlového momentu, jsou-li známy rychlost a setrvačnost.

Upravené parametry DH

Některé knihy jako např Úvod do robotiky: Mechanika a řízení (3. vydání) ^[7] použít upravené parametry DH. Rozdíl mezi klasickými parametry DH a upravenými parametry DH jsou umístění připojení souřadnicového systému k odkazům a pořadí provedených transformací.

Upravené parametry DH

Ve srovnání s klasickými parametry DH jsou souřadnice rámu ${ displaystyle O_ {i-1}}$ je kladen na osu i - 1, ne osa i v klasické DH konvenci. Souřadnice ${ displaystyle O_ {i}}$ je kladen na osu i, ne osa i + 1 v klasické DH konvenci.

Dalším rozdílem je, že podle upravené konvence je transformační matice dána následujícím pořadí operací:

${ displaystyle {} ^ {n-1} T_ {n} = operatorname {Rot} _ {x_ {n-1}} ( alpha _ {n-1}) cdot operatorname {Trans} _ {x_ {n-1}} (a_ {n-1}) cdot operatorname {Rot} _ {z_ {n}} ( theta _ {n}) cdot operatorname {Trans} _ {z_ {n}} (d_ {n})}$

Tak se stává matice upravených parametrů DH

${ displaystyle operatorname {} ^ {n-1} T_ {n} = left [{ begin {array} {ccc | c} cos theta _ {n} & - sin theta _ {n} & 0 & a_ {n-1} sin theta _ {n} cos alpha _ {n-1} & cos theta _ {n} cos alpha _ {n-1} & - sin alpha _ {n-1} & - d_ {n} sin alpha _ {n-1} sin theta _ {n} sin alpha _ {n-1} & cos theta _ { n} sin alpha _ {n-1} & cos alpha _ {n-1} & d_ {n} cos alpha _ {n-1} hline 0 & 0 & 0 & 1 end {array}} right ]}$

Některé knihy (např .:^[8]) použití ${ displaystyle a_ {n}}$ a ${ displaystyle alpha _ {n}}$ k označení délky a zkroucení odkazu n - 1 spíše než odkazn. Jako následek, ${ displaystyle {} ^ {n-1} T_ {n}}$ je tvořen pouze s parametry používajícími stejný dolní index.

V některých knihách je pořadí transformace pro dvojici po sobě jdoucích rotací a překladů (např ${ displaystyle d_ {n}}$a ${ displaystyle theta _ {n}}$) je nahrazen. Protože však nezáleží na pořadí násobení matice pro takový pár, výsledek je stejný. Například: ${ displaystyle operatorname {Trans} _ {z_ {n}} (d_ {n}) cdot operatorname {Rot} _ {z_ {n}} ( theta _ {n}) = operatorname {Rot} _ {z_ {n}} ( theta _ {n}) cdot operatorname {Trans} _ {z_ {n}} (d_ {n})}$.

Byly publikovány průzkumy konvencí DH a jejich rozdílů.^[9][10] Vizualizaci definice parametrů DH lze snadno sledovat a porozumět pomocí pojmenovaného simulačního softwaru RoboAnalyzer.^[11]

Viz také

• Dopředná kinematika
• Inverzní kinematika
• Kinematický řetězec
• Kinematika
• Konvence robotiky
• Mechanické systémy

Reference