De Moivresův vzorec - De Moivres formula - Wikipedia

v matematika, de Moivreův vzorec (také známý jako de Moivreova věta a de Moivreova identita) uvádí, že pro všechny reálné číslo $X$ a celé číslo $n$ to platí

{ displaystyle { big (} cos (x) + i sin (x) { big)} ^ {n} = cos (nx) + i sin (nx),}

kde $i$ je imaginární jednotka ( $i 2 = -1$ ). Vzorec je pojmenován po Abraham de Moivre, ačkoli to ve svých pracích nikdy neuváděl.^[1] Výraz $cos (X) + i hřích(X)$ je někdy zkráceno na $cis (X)$ .

Vzorec je důležitý, protože spojuje komplexní čísla a trigonometrie. Rozšířením levé strany a poté porovnáním skutečné a imaginární části za předpokladu, že $X$ je reálné, je možné odvodit užitečné výrazy pro $cos (nx)$ a $hřích(nx)$ ve smyslu $cos (X)$ a $hřích(X)$ .

Jak bylo napsáno, vzorec není platný pro jiné než celočíselné mocniny $n$ . Existují však zobecnění tohoto vzorce platné pro jiné exponenty. Ty lze použít k poskytnutí explicitních výrazů pro $n$ th kořeny jednoty, tj. komplexní čísla $z$ takhle $z n = 1$ .

Příklad

Pro ${ displaystyle x = 30 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle n = 2}$ to tvrdí de Moivreův vzorec

{ displaystyle left ( cos (30 ^ { circ}) + i sin (30 ^ { circ}) right) ^ {2} = cos (2 cdot 30 ^ { circ}) + i sin (2 cdot 30 ^ { circ}),}

nebo ekvivalentně to

{ displaystyle left ({ frac { sqrt {3}} {2}} + { frac {i} {2}} right) ^ {2} = { frac {1} {2}} + { frac {i { sqrt {3}}} {2}}.}

V tomto příkladu je snadné zkontrolovat platnost rovnice vynásobením levé strany.

Vztah k Eulerovu vzorci

De Moivreův vzorec je předchůdcem Eulerův vzorec

{ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x,}

který stanoví základní vztah mezi trigonometrickými funkcemi a komplexní exponenciální funkcí.

Dá se odvodit de Moivreův vzorec pomocí Eulerova vzorce a exponenciální zákon pro celočíselné mocniny

{ displaystyle left (e ^ {ix} right) ^ {n} = e ^ {inx},}

protože Eulerův vzorec znamená, že levá strana se rovná ${ displaystyle left ( cos x + i sin x right) ^ {n}}$ zatímco pravá strana se rovná

{ displaystyle e ^ {inx} = cos (nx) + i sin (nx).}

Důkaz indukcí

Pravdivost de Moivrovy věty lze zjistit pomocí matematické indukce pro přirozená čísla a odtud ji rozšířit na všechna celá čísla. Pro celé číslo $n$ , volejte následující příkaz $S (n)$ :

{ displaystyle ( cos x + i sin x) ^ {n} = cos nx + i sin nx.}

Pro $n > 0$ , pokračujeme matematická indukce. $S (1)$ je jasně pravda. Pro naši hypotézu předpokládáme $S (k)$ platí pro některé přirozené $k$ . To je, předpokládáme

{ displaystyle left ( cos x + i sin x right) ^ {k} = cos kx + i sin kx.}

Nyní, vzhledem k tomu $S (k + 1)$ :

{ displaystyle { begin {alignedat} {2} left ( cos x + i sin x right) ^ {k + 1} & = left ( cos x + i sin x right) ^ { k} left ( cos x + i sin x right) & = left ( cos kx + i sin kx right) left ( cos x + i sin x right) && qquad { text {indukční hypotézou}} & = cos (kx) cos x- sin (kx) sin x + i left ( cos (kx) sin x + sin (kx) cos x right) & = cos ((k + 1) x) + i sin ((k + 1) x) && qquad { text {podle trigonometrických identit}} end {alignedat} }}

Vidět identita úhlového součtu a rozdílu.

Dedukujeme to $S (k)$ naznačuje $S (k + 1)$ . Z principu matematické indukce vyplývá, že výsledek platí pro všechna přirozená čísla. Nyní, $S (0)$ je to zjevně pravda od $cos (0 X) + i hřích (0 X) = 1 + 0 i = 1$ . Nakonec pro případy záporných celých čísel považujeme exponent $- n$ pro přirozené $n$ .

{ displaystyle { begin {zarovnáno} left ( cos x + i sin x right) ^ {- n} & = { big (} left ( cos x + i sin x right) ^ {n} { big)} ^ {- 1} & = left ( cos nx + i sin nx right) ^ {- 1} & = cos (-nx) + i sin (-nx). qquad (*) end {zarovnáno}}}

Rovnice (*) je výsledkem identity

{ displaystyle z ^ {- 1} = { frac { bar {z}} {| z | ^ {2}}},}

pro $z = cos (nx) + i hřích (nx)$ . Proto, $S (n)$ platí pro všechna celá čísla $n$ .

Vzorce pro kosinus a sinus jednotlivě

Za rovnost komplexní čísla, jeden nutně má rovnost obou skutečné části a imaginární části obou členů rovnice. Li $X$ , a proto také $cos X$ a $hřích X$ , jsou reálná čísla, pak lze totožnost těchto částí zapsat pomocí binomické koeficienty. Tento vzorec dal francouzský matematik 16. století François Viète:

{ displaystyle { begin {aligned} sin (nx) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ( cos x) ^ {k} , ( sin x) ^ {nk} , sin { frac {(nk) pi} {2}} cos (nx) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ( cos x) ^ {k} , ( sin x) ^ {nk} , cos { frac {(nk) pi} {2}}. end {zarovnáno }}}

V každé z těchto dvou rovnic se konečná trigonometrická funkce rovná jedné nebo minus jedné nebo nule, čímž se odstraní polovina položek v každé ze součtů. Tyto rovnice jsou ve skutečnosti platné i pro komplexní hodnoty $X$ , protože obě strany jsou celý (to znamená, holomorfní v celku složité letadlo ) funkce $X$ a dvě takové funkce, které se shodují na skutečné ose, se nutně shodují všude. Zde jsou konkrétní instance těchto rovnic pro $n = 2$ a $n = 3$ :

{ displaystyle { begin {alignedat} {2} cos 2x & = left ( cos x right) ^ {2} + left ( left ( cos x right) ^ {2} -1 right ) & {} = {} & 2 left ( cos x right) ^ {2} -1 sin 2x & = 2 left ( sin x right) left ( cos x right) && cos 3x & = left ( cos x right) ^ {3} +3 cos x left ( left ( cos x right) ^ {2} -1 right) & {} = {} & 4 left ( cos x right) ^ {3} -3 cos x sin 3x & = 3 left ( cos x right) ^ {2} left ( sin x right) - left ( sin x right) ^ {3} & {} = {} & 3 sin x-4 left ( sin x right) ^ {3}. end {alignedat}}}

Pravá strana vzorce pro $cos nx$ je ve skutečnosti hodnota $T n (cos X)$ z Čebyševův polynom $T n$ na $cos X$ .

Selhání neceločíselných sil a zobecnění

De Moivreův vzorec neplatí pro necelé mocniny. Derivace de Moivreova vzorce výše zahrnuje komplexní číslo povýšené na celočíselnou sílu $n$ . Pokud je komplexní číslo zvýšeno na necelou mocninu, výsledkem je s více hodnotami (vidět selhání identit napájení a logaritmu ). Například když $n = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2$ , de Moivreův vzorec poskytuje následující výsledky:

pro

X = 0

vzorec dává 1^¹⁄₂ = 1 a

pro

X = 2 π

vzorec dává 1^¹⁄₂ = −1.

Tím se stejnému výrazu přiřadí dvě různé hodnoty 1^¹⁄₂, takže vzorec není v tomto případě konzistentní.

Na druhou stranu jsou hodnoty 1 a −1 obě odmocniny 1. Obecněji, pokud $z$ a $w$ jsou tedy komplexní čísla

{ displaystyle left ( cos z + i sin z right) ^ {w}}

je vícehodnotový, zatímco

{ displaystyle cos wz + i sin wz}

není. Vždy to však tak je

{ displaystyle cos wz + i sin wz}

je jednou z hodnot

{ displaystyle left ( cos z + i sin z right) ^ {w}.}

Kořeny komplexních čísel

K vyhledání lze použít skromné rozšíření verze de Moivreova vzorce uvedené v tomto článku the $n$ th kořeny komplexního čísla (ekvivalentně síla $1 / n$ ).

Li $z$ je komplexní číslo napsané v polární forma tak jako

{ Displaystyle z = r left ( cos x + i sin x right),}

pak $n$ $n$ th kořeny $z$ jsou dány

{ displaystyle r ^ { frac {1} {n}} vlevo ( cos { frac {x + 2 pi k} {n}} + i sin { frac {x + 2 pi k} {n}} vpravo)}

kde $k$ se mění přes celočíselné hodnoty od 0 do $n - 1$ .

Tento vzorec je také někdy známý jako de Moivreův vzorec.^[2]

Analogy v jiných nastaveních

Hyperbolická trigonometrie

Od té doby $hovadina X + sinh X = E X$ , analogie k de Moivrovu formuli platí také pro hyperbolická trigonometrie. Pro všechny $n \in ℤ$ ,

{ displaystyle ( cosh x + sinh x) ^ {n} = cosh nx + sinh nx.}

Také pokud $n \in ℚ$ , pak jedna hodnota $(hovadina X + sinh X) n$ bude $hovadina nx + sinh nx$ .^[3]

Rozšíření na komplexní čísla

Vzorec platí pro jakékoli komplexní číslo ${ displaystyle z = x + iy}$

{ displaystyle ( cos z + i sin z) ^ {n} = cos {nz} + i sin {nz}.}

kde

{ displaystyle { začátek {zarovnáno} cos z = cos (x + iy) & = cos x cosh yi sin x sinh y ,, sin z = sin (x + iy) & = sin x cosh y + i cos x sinh y ,. end {zarovnáno}}}

Čtveřice

Najít kořeny a čtveřice existuje analogická forma de Moivreova vzorce. Čtvrtek v podobě

{ displaystyle d + a mathbf { hat {i}} + b mathbf { hat {j}} + c mathbf { hat {k}}}

mohou být reprezentovány ve formě

{ displaystyle q = k ( cos theta + varepsilon sin theta) qquad { mbox {pro}} 0 leq theta <2 pi.}

V tomto zastoupení

{ displaystyle k = { sqrt {d ^ {2} + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}},}

a trigonometrické funkce jsou definovány jako

{ displaystyle cos theta = { frac {d} {k}} quad { mbox {a}} quad sin theta = pm { frac { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} {k}}.}

V případě, že $A 2 + b 2 + C 2 \neq 0$ ,

{ displaystyle varepsilon = pm { frac {a mathbf { hat {i}} + b mathbf { hat {j}} + c mathbf { hat {k}}} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}},}

tj. jednotkový vektor. To vede k variaci De Moivreova vzorce:

{ displaystyle q ^ {n} = k ^ {n} ( cos n theta + varepsilon sin n theta).}

^[4]

Příklad

Chcete-li najít kořeny kostky z

{ displaystyle Q = 1 + mathbf { hat {i}} + mathbf { hat {j}} + mathbf { hat {k}},}

napište čtveřice ve tvaru

{ displaystyle Q = 2 left ( cos { frac { pi} {3}} + varepsilon sin { frac { pi} {3}} right) qquad { mbox {kde}} varepsilon = { frac { mathbf { hat {i}} + mathbf { hat {j}} + mathbf { hat {k}}} { sqrt {3}}}.}

Pak jsou kořeny kostky dány vztahem:

{ displaystyle { sqrt [{3}] {Q}} = { sqrt [{3}] {2}} ( cos theta + varepsilon sin theta) qquad { mbox {pro}} theta = { frac { pi} {9}}, { frac {7 pi} {9}}, { frac {13 pi} {9}}.}

2×2 matice

Zvažte následující matici ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} cos phi & sin phi - sin phi & cos phi end {pmatrix}}}$ . Pak ${ displaystyle { begin {pmatrix} cos phi & sin phi - sin phi & cos phi end {pmatrix}} ^ {n} = { begin {pmatrix} cos n phi & sin n phi - sin n phi & cos n phi end {pmatrix}}}$ . Tato skutečnost (i když ji lze dokázat stejným způsobem jako u komplexních čísel) je přímým důsledkem skutečnosti, že prostor matic typu ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b - b & a end {pmatrix}}}$ je izomorfní s prostorem komplexních čísel.

Reference

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Příručka matematických funkcí. New York: Dover Publications. str.74. ISBN 0-486-61272-4..

^ Lial, Margaret L .; Hornsby, John; Schneider, David I .; Callie J., Daniels (2008). College algebra a trigonometrie (4. vydání). Boston: Pearson / Addison Wesley. str. 792. ISBN 9780321497444.
^ „De Moivreův vzorec“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
^ Mukhopadhyay, Utpal (srpen 2006). "Některé zajímavé vlastnosti hyperbolických funkcí". Rezonance. 11 (8): 81–85. doi:10.1007 / BF02855783.
^ Brand, Louis (říjen 1942). "Kořeny čtveřice". Americký matematický měsíčník. 49 (8): 519–520. doi:10.2307/2302858. JSTOR 2302858.

externí odkazy

De Moivreova věta pro Trig Identities Michael Croucher, Demonstrační projekt Wolfram.

[1] Lial, Margaret L .; Hornsby, John; Schneider, David I .; Callie J., Daniels (2008). College algebra a trigonometrie (4. vydání). Boston: Pearson / Addison Wesley. str. 792. ISBN 9780321497444.

[2] „De Moivreův vzorec“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[3] Mukhopadhyay, Utpal (srpen 2006). "Některé zajímavé vlastnosti hyperbolických funkcí". Rezonance. 11 (8): 81–85. doi:10.1007 / BF02855783.

[4] Brand, Louis (říjen 1942). "Kořeny čtveřice". Americký matematický měsíčník. 49 (8): 519–520. doi:10.2307/2302858. JSTOR 2302858.

[1]

[2]

[3]

[4]