D'Alembertův vzorec - dAlemberts formula - Wikipedia

v matematika a konkrétně parciální diferenciální rovnice (PDE), d'Alembertův vzorec je obecným řešením jednorozměrného vlnová rovnice ${ displaystyle u_ {tt} (x, t) = c ^ {2} u_ {xx} (x, t)}$ (kde indexy indexu naznačují částečná diferenciace, za použití operátor d'Alembert, PDE se stává: ${ displaystyle Box u = 0}$ ).

Řešení závisí na počáteční podmínky na ${ displaystyle t = 0}$ : ${ displaystyle u (x, 0)}$ a ${ displaystyle u_ {t} (x, 0)}$ Skládá se ze samostatných podmínek pro počáteční podmínky ${ displaystyle u (x, 0)}$ a ${ displaystyle u_ {t} (x, 0)}$ :

{ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {2}} vlevo [u (x-ct, 0) + u (x + ct, 0) vpravo] + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct} ^ {x + ct} u_ {t} ( xi, 0) , d xi.}

Je pojmenována po matematikovi Jean le Rond d'Alembert, který jej odvodil v roce 1747 jako řešení problému a vibrační struna.^[1]

Detaily

The charakteristiky PDE jsou ${ displaystyle x pm ct = mathrm {const} ,}$ , takže můžeme použít změnu proměnných ${ displaystyle mu = x + ct, eta = x-ct ,}$ transformovat PDE na ${ displaystyle u _ { mu eta} = 0 ,}$ . Obecné řešení tohoto PDE je ${ displaystyle u ( mu, eta) = F ( mu) + G ( eta) ,}$ kde ${ displaystyle F ,}$ a ${ displaystyle G ,}$ jsou ${ displaystyle C ^ {1} ,}$ funkce. Zpět ${ displaystyle x, t ,}$ souřadnice,

{ displaystyle u (x, t) = F (x + ct) + G (x-ct) ,}

{ displaystyle u ,}

je

{ displaystyle C ^ {2} ,}

-li

{ displaystyle F ,}

a

{ displaystyle G ,}

jsou

{ displaystyle C ^ {2} ,}

.

Toto řešení ${ displaystyle u ,}$ lze interpretovat jako dvě vlny s konstantní rychlostí ${ displaystyle c ,}$ pohybující se v opačných směrech podél osy x.

Nyní zvažte toto řešení s Cauchyova data ${ displaystyle u (x, 0) = g (x), u_ {t} (x, 0) = h (x) ,}$ .

Použitím ${ displaystyle u (x, 0) = g (x) ,}$ dostaneme ${ displaystyle F (x) + G (x) = g (x) ,}$ .

Použitím ${ displaystyle u_ {t} (x, 0) = h (x) ,}$ dostaneme ${ displaystyle cF '(x) -cG' (x) = h (x) ,}$ .

Můžeme integrovat poslední získanou rovnici

{ displaystyle cF (x) -cG (x) = int _ {- infty} ^ {x} h ( xi) , d xi + c_ {1}. ,}

Nyní můžeme tento systém rovnic vyřešit, abychom získali

{ displaystyle F (x) = { frac {-1} {2c}} vlevo (-cg (x) - vlevo ( int _ {- infty} ^ {x} h ( xi) , d xi + c_ {1} vpravo) vpravo) ,}

{ displaystyle G (x) = { frac {-1} {2c}} vlevo (-cg (x) + vlevo ( int _ {- infty} ^ {x} h ( xi) d xi + c_ {1} vpravo) vpravo). ,}

Nyní, pomocí

{ displaystyle u (x, t) = F (x + ct) + G (x-ct) ,}

d'Alembertův vzorec se stává:

{ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {2}} vlevo [g (x-ct) + g (x + ct) vpravo] + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct} ^ {x + ct} h ( xi) , d xi.}

^[2]

Zobecnění pro nehomogenní kanonické hyperbolické diferenciální rovnice

Obecná forma nehomogenní kanonická diferenciální rovnice hyperbolického typu má formu:

${ displaystyle u_ {tt} -u_ {xx} = f (x, t), , u (x, 0) = g (x), , u_ {t} (x, 0) = h (x) ,}$

pro ${ displaystyle - infty 0, f v C ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}, mathbb {R})}$ .

Všechny diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty lze převést na jejich příslušné kanonické formy. Tato rovnice je jedním z těchto tří případů: Eliptická parciální diferenciální rovnice, Parabolická parciální diferenciální rovnice a Hyperbolická parciální diferenciální rovnice.

Jediný rozdíl mezi a homogenní a nehomogenní (částečný) diferenciální rovnice je to, že v homogenní formě necháme jen 0 stát na pravé straně ( ${ displaystyle f (x, t) = 0}$ ), zatímco nehomogenní je mnohem obecnější, jako v ${ displaystyle f (x, t)}$ může být jakákoli funkce, pokud je kontinuální a může být průběžně diferencované dvakrát.

Řešení výše uvedené rovnice je dáno vzorcem:

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {2}} { Bigl (} g (x + t) + g (xt) { biggr)} + { frac {1} {2 }} { biggl (} int limity _ {xt} ^ {x + t} h (s) ds { biggr)} + { frac {1} {2}} { biggl (} int limity _ {0} ^ {t} int limity _ {x-t + tau} ^ {x + t- tau} f (s, tau) dsd tau { Bigr)}}$ .

Li ${ displaystyle g (x) = 0}$ , první část zmizí, pokud ${ displaystyle h (x) = 0}$ , druhá část zmizí, a pokud ${ displaystyle f (x) = 0}$ , třetí část z řešení zmizí, protože integrace funkce 0 mezi libovolnými dvěma hranicemi má vždy za následek 0.

To znamená, že homogenní rovnice ( ${ displaystyle f (x, t) = 0}$ ) vrací náš původní vzorec pro případ ${ displaystyle c = 1}$ .

Viz také

Poznámky

^ D'Alembert (1747) „Obnovuje sur la courbe que formy a corde tenduë mise en vibration“ (Zkoumá na křivce, že napnutá šňůra [struna] se formuje [když] zapadne do vibrací), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, sv. 3, strany 214-219. Viz také: D'Alembert (1747) „Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration“ (Další výzkumy na křivce, kterou napjatá šňůra tvoří [když] zapadne do vibrací), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, sv. 3, strany 220-249. Viz také: D'Alembert (1750) „Add a memoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration,“ Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, sv. 6, strany 355-360.
^ Pinchover, Rubinstein (2013). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (8. tisk). Cambridge University Press. str. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

externí odkazy

Příklad řešení nehomogenní vlnové rovnice z www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html

[1] D'Alembert (1747) „Obnovuje sur la courbe que formy a corde tenduë mise en vibration“ (Zkoumá na křivce, že napnutá šňůra [struna] se formuje [když] zapadne do vibrací), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, sv. 3, strany 214-219. Viz také: D'Alembert (1747) „Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration“ (Další výzkumy na křivce, kterou napjatá šňůra tvoří [když] zapadne do vibrací), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, sv. 3, strany 220-249. Viz také: D'Alembert (1750) „Add a memoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration,“ Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, sv. 6, strany 355-360.

[2] Pinchover, Rubinstein (2013). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (8. tisk). Cambridge University Press. str. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

[1]

[2]