Coxeterův komplex - Coxeter complex - Wikipedia

V matematice je Coxeterův komplex, pojmenoval podle H. S. M. Coxeter, je geometrická struktura (a zjednodušený komplex ) spojené s a Skupina coxeterů. Coxeterovy komplexy jsou základní objekty, které umožňují konstrukci budovy; tvoří byty budovy.

Konstrukce

Kanonická lineární reprezentace

První přísada do konstrukce komplexu Coxeter spojená se skupinou Coxeter Ž je jisté zastoupení z Ž, nazvaný kanonická reprezentace Ž.

Nechat ${ displaystyle (W, S)}$ být Coxeter systém spojené s Ž, s Coxeterova matice ${ displaystyle M = (m (s, t)) _ {s, t v S}}$ . Kanonická reprezentace je dána vektorovým prostorem PROTI na základě formálních symbolů ${ displaystyle (e_ {s}) _ {s v S}}$ , který je vybaven symetrickou bilineární formou ${ displaystyle B (e_ {s}, e_ {t}) = - cos vlevo ({ frac { pi} {m (s, t)}} vpravo)}$ . Akce Ž v tomto vektorovém prostoru PROTI je pak dáno ${ displaystyle s (v) = v-2 { frac {B (e_ {s}, v)} {B (e_ {s}, e_ {s})}} e_ {s}}$ , jak je motivováno výrazem pro odrazy v kořenové systémy.

Toto znázornění má několik základních vlastností v teorii Coxeterových skupin; například bilineární forma B je pozitivní určitý, právě když Ž je konečný. Je to (vždy) a věrné zastoupení z Ž.

Chambers and the Tits cone

Jeden může myslet na toto vyjádření jako vyjadřující Ž jako nějaký druh reflexní skupina s výhradou, že B nemusí být pozitivní definitivní. Stává se důležité rozlišit reprezentaci PROTI z jeho dvojího PROTI^*. Vektory ${ displaystyle e_ {s}}$ ležet v PROTIa mají odpovídající duální vektory ${ displaystyle e_ {s} ^ { vee}}$ v PROTI^*, dána:

{ displaystyle langle e_ {s} ^ { vee}, v rangle = 2 { frac {B (e_ {s}, v)} {B (e_ {s}, e_ {s})}}, }

kde lomené závorky označují přirozené párování dvojitého vektoru v PROTI^* s vektorem PROTI, a B je bilineární forma, jak je uvedeno výše.

Nyní Ž jedná PROTI^*, a akce splňuje vzorec

{ displaystyle s (f) = f- langle f, e_ {s} rangle e_ {s} ^ { vee},}

pro ${ displaystyle s v S}$ a jakékoli F v PROTI^*. To vyjadřuje s jako odraz v nadrovině ${ displaystyle H_ {s} = {f ve V ^ {*}: langle f, e_ {s} rangle = 0 }}$ . Jeden má základní komoru ${ displaystyle { mathcal {C}} = {f ve V ^ {*}: langle f, e_ {s} rangle> 0 forall s in S }}$ , toto čelí takzvaným zdím, ${ displaystyle H_ {s}}$ . Ostatní komory lze získat z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ překladem: jsou to ${ displaystyle w { mathcal {C}}}$ pro ${ displaystyle w in W}$ .

Vzhledem k základní komoře ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , Prsa kužel je definován jako ${ displaystyle X = bigcup _ {w in W} w { overline { mathcal {C}}}}$ . To nemusí být celé PROTI^*. Zásadní význam má skutečnost, že prsa kužel X je konvexní. Akce Ž na kužele kozy X má základní doména základní komora ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ .

Komplex Coxeter

Jakmile někdo definuje kužel prsa Xkomplex Coxeter ${ displaystyle Sigma (W, S)}$ z Ž s ohledem na S lze definovat jako kvocient z Xs odstraněným původem pozitivní reality (ℝ⁺, ×):

{ displaystyle Sigma (W, S) = (X setminus {0 }) / mathbb {R} ^ {+}}

.

Příklady

Konečné dihedrální skupiny

The dihedrální skupiny ${ displaystyle D_ {n}}$ (objednávky 2n) jsou Coxeterovy skupiny odpovídajícího typu ${ displaystyle mathrm {I} _ {2} (n)}$ . Ty mají prezentaci ${ displaystyle left langle s, t , left | , s ^ {2}, t ^ {2}, (st) ^ {n} right rangle right.}$ .

Kanonické lineární znázornění ${ displaystyle mathrm {I} _ {2} (n)}$ je obvyklou reflexní reprezentací vzepětí skupiny působící na a n-gon v letadle (tak ${ displaystyle V = mathbb {R} ^ {2}}$ v tomto případě). Například v případě n = 3, dostaneme Coxeterovu skupinu typu ${ displaystyle mathrm {I} _ {2} (3) = mathrm {A} _ {2}}$ , působící na rovnostranný trojúhelník v rovině. Každá reflexe s má přidruženou nadrovinu H_s v duálním vektorovém prostoru (který lze kanonicky identifikovat se samotným vektorovým prostorem pomocí bilineární formy B, což je v tomto případě vnitřní produkt, jak bylo uvedeno výše), jedná se o stěny. Vyřezávají komory, jak je vidět níže:

Komplex Coxeter je pak odpovídající 2n-gon, jako na obrázku výše. Jedná se o zjednodušený komplex dimenze 1 a lze jej zabarvit podle typu.

Nekonečná dihedrální skupina

Dalším motivujícím příkladem je nekonečná dihedrální skupina ${ displaystyle D _ { infty}}$ . To lze považovat za skupinu symetrií reálné linie, která zachovává množinu bodů s celočíselnými souřadnicemi; je generován odrazy v ${ displaystyle x = 0}$ a ${ displaystyle x = {1 nad 2}}$ . Tato skupina má prezentaci Coxeter ${ displaystyle left langle s, t , left | , s ^ {2}, t ^ {2} right rangle right.}$ .

V tomto případě již není možné identifikovat PROTI s duálním prostorem PROTI^*, tak jako B není kladně definitivní. Pak je lepší pracovat pouze s PROTI^*, což je místo, kde jsou definovány hyperplány. Tím získáte následující obrázek:

V tomto případě kužel Kozy není celá rovina, ale pouze horní polovina roviny. Quotienting out by the positive reals then yields another copy of the real line, with checked points at the integers. Toto je Coxeterův komplex nekonečné vzepětí.

Alternativní stavba komplexu Coxeter

Další popis komplexu Coxeter používá standardní kosety skupiny Coxeter Ž. Standardní coset je coset formuláře ${ displaystyle wW_ {J}}$ , kde ${ displaystyle W_ {J} = langle J rangle}$ pro nějakou podmnožinu J z S. Například, ${ displaystyle W_ {S} = W}$ a ${ displaystyle W _ { emptyset} = {1 }}$ .

Komplex Coxeter ${ displaystyle Sigma (W, S)}$ je pak poset standardních kosetů seřazených obráceným zahrnutím. Toto má kanonickou strukturu zjednodušeného komplexu, stejně jako všechny posety, které splňují:

Jakékoli dva prvky mají největší dolní mez.
Poset prvků menších nebo rovných danému prvku je izomorfní s posetem podmnožin ${ displaystyle {1,2, ldots, n }}$ pro celé číslon.

Vlastnosti

Komplex Coxeter spojený s ${ displaystyle (W, S)}$ má rozměr ${ displaystyle | S | -1}$ . Je homeomorfní pro a ${ displaystyle (| S | -1)}$ - koule, pokud Ž je konečný a je smluvní -li Ž je nekonečný.

Viz také

Reference

Peter Abramenko a Kenneth S. Brown, Budovy, teorie a aplikace. Springer, 2008.