Matarianova kovarianční funkce - Matérn covariance function

v statistika, Matérn kovariance, také nazývaný Matérnské jádro^[1], je kovarianční funkce použito v prostorová statistika, geostatistika, strojové učení, obrazová analýza a další aplikace vícerozměrné statistické analýzy na metrické prostory. Je pojmenován podle švédského statistika lesnictví Bertil Matérn^[2]. Běžně se používá k definování statistické kovariance mezi měřeními provedenými ve dvou bodech, které jsou d jednotky od sebe vzdálené. Protože kovariance závisí pouze na vzdálenostech mezi body, je stacionární. Pokud je vzdálenost Euklidovská vzdálenost, Matérnova kovariance také je izotropní.

Definice

Matérnova kovariance mezi dvěma body oddělenými d jednotky vzdálenosti jsou dány ^[3]

${displaystyle C_ {u} (d) = sigma ^ {2} {frac {2 ^ {1-u}} {Gamma (u)}} {Bigg (} {sqrt {2u}} {frac {d} {ho }} {Bigg)} ^ {u} K_ {u} {Bigg (} {sqrt {2u}} {frac {d} {ho}} {Bigg)},}$

kde ${displaystyle Gamma}$ je funkce gama, ${displaystyle K_ {u}}$ je upravený Besselova funkce druhého druhu a ρ a ν jsou pozitivní parametry kovariance.

A Gaussův proces s Matérnovou kovariancí je ${displaystyle lceil u ceil -1}$ časy diferencovatelné ve smyslu střední kvadratury.^[3][4]

Spektrální hustota

Výkonové spektrum procesu s Matérnovou kovariancí definovanou na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je (n-dimenzionální) Fourierova transformace matérské kovarianční funkce (viz Věta Wiener – Khinchin ). Výslovně je to dáno

${displaystyle S (f) = sigma ^ {2} {frac {2 ^ {n} pi ^ {frac {n} {2}} gama (u + {frac {n} {2}}) (2u) ^ { u}} {Gamma (u) ho ^ {2u}}} vlevo ({frac {2u} {ho ^ {2}}} + 4pi ^ {2} f ^ {2} ight) ^ {- vlevo (u + {frac {n} {2}} hned)}.}$^[3]

Zjednodušení pro konkrétní hodnoty ν

Zjednodušení pro ν poloviční celé číslo

Když ${displaystyle u = p + 1/2, připnout mathbb {N} ^ {+}}$ , Matérn kovariance lze zapsat jako produkt exponenciálu a polynomu řádu ${displaystyle p}$:^[5]

$${displaystyle C_ {p + 1/2} (d) = sigma ^ {2} exp left (- {frac {{sqrt {2p + 1}} d} {ho}} ight) {frac {p!} {( 2p)!}} Součet _ {i = 0} ^ {p} {frac {(p + i)!} {I! (Pi)!}} Vlevo ({frac {2 {sqrt {2p + 1}} d } {ho}} ight) ^ {pi},}$$

který dává:

• pro ${displaystyle u = 1/2 (p = 0)}$: ${displaystyle C_ {1/2} (d) = sigma ^ {2} exp vlevo (- {frac {d} {ho}} vpravo),}$
• pro ${displaystyle u = 3/2 (p = 1)}$: ${displaystyle C_ {3/2} (d) = sigma ^ {2} vlevo (1+ {frac {{sqrt {3}} d} {ho}} ight) exp vlevo (- {frac {{sqrt {3} } d} {ho}} ight),}$
• pro ${displaystyle u = 5/2 (p = 2)}$: ${displaystyle C_ {5/2} (d) = sigma ^ {2} vlevo (1+ {frac {{sqrt {5}} d} {ho}} + {frac {5d ^ {2}} {3ho ^ { 2}}} ight) exp left (- {frac {{sqrt {5}} d} {ho}} ight).}$

Gaussovský případ na hranici nekonečna ν

Tak jako ${displaystyle u ightarrow infty}$, Matérn kovariance konverguje k čtvercová exponenciální kovarianční funkce

${displaystyle lim _ {u ightarrow infty} C_ {u} (d) = sigma ^ {2} exp left (- {frac {d ^ {2}} {2ho ^ {2}}} ight).}$

Taylorova řada v nulových a spektrálních momentech

Chování pro ${displaystyle dightarrow 0}$ lze získat následující Taylorovou řadou:

$${displaystyle C_ {u} (d) = sigma ^ {2} vlevo (1+ {frac {u} {2 (1-u)}} vlevo ({frac {d} {ho}} vpravo) ^ {2} + {frac {u ^ {2}} {8 (2-3u + u ^ {2})}} vlevo ({frac {d} {ho}} ight) ^ {4} + {mathcal {O}} vlevo (d ^ {5} ight) ight).}$$

Pokud jsou definovány, lze z Taylorovy řady odvodit následující spektrální momenty:

${displaystyle {egin {aligned} lambda _ {0} & = C_ {u} (0) = sigma ^ {2}, [8pt] lambda _ {2} & = - left. {frac {částečné ^ {2} C_ {u} (d)} {částečný d ^ {2}}} vpravo | _ {d = 0} = {frac {sigma ^ {2} u} {ho ^ {2} (u -1)}}. konec {zarovnáno}}}$

Viz také

• Radiální základní funkce

Reference