Conway – Maxwell – binomická distribuce - Conway–Maxwell–binomial distribution - Wikipedia

Conway – Maxwell – binomický

Parametry	${ displaystyle n in {1,2, ldots },}$ ${ displaystyle 0 leq p leq 1,}$ ${ displaystyle - infty < nu < infty}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in {0,1,2, tečky, n }}$
PMF	${ displaystyle { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {x}} ^ { nu} p ^ {j} (1-p) ^ {nx} }$
CDF	${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {x} Pr (X = i)}$
Znamenat	Nezapsáno
Medián	Žádná uzavřená forma
Režim	Viz text
Rozptyl	Nezapsáno
Šikmost	Nezapsáno
Př. špičatost	Nezapsáno
Entropie	Nezapsáno
MGF	Viz text
CF	Viz text

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Conway – Maxwell – binomický (CMB) distribuce je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti se třemi parametry, které zobecňuje binomická distribuce obdobným způsobem, jakým Conway – Maxwell – Poissonovo rozdělení zobecňuje Poissonovo rozdělení. Distribuci CMB lze použít k modelování pozitivní i negativní asociace mezi Bernoulli summands ,.^[1][2]

The rozdělení byl představen Shumeli et al. (2005),^[1] a název Conway – Maxwell – binomická distribuce zavedl nezávisle Kadane (2016) ^[2] a Daly a Gaunt (2016).^[3]

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti

Distribuce Conway – Maxwell – binomial (CMB) má funkce pravděpodobnostní hmotnosti

${ displaystyle Pr (Y = j) = { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {j}} ^ { nu} p ^ {j} ( 1-p) ^ {nj} ,, qquad j in {0,1, ldots, n },}$

kde ${ displaystyle n in mathbb {N} = {1,2, ldots }}$, ${ displaystyle 0 leq p leq 1}$ a ${ displaystyle - infty < nu < infty}$. The normalizační konstanta ${ displaystyle C_ {n, p, nu}}$ je definováno

${ displaystyle C_ {n, p, nu} = součet _ {i = 0} ^ {n} { binom {n} {i}} ^ { nu} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}.}$

Pokud náhodná proměnná ${ displaystyle Y}$ má výše uvedenou hromadnou funkci, pak píšeme ${ displaystyle Y sim operatorname {CMB} (n, p, nu)}$.

Pouzdro ${ displaystyle nu = 1}$ je obvyklá binomická distribuce ${ displaystyle Y sim operatorname {Bin} (n, p)}$.

Vztah k distribuci Conway – Maxwell – Poisson

Následující vztah mezi náhodnými proměnnými Conway – Maxwell – Poisson (CMP) a CMB ^[1] zobecňuje známý výsledek týkající se Poissonových a binomických náhodných proměnných. Li ${ displaystyle X_ {1} sim operatorname {CMP} ( lambda _ {1}, nu)}$ a ${ displaystyle X_ {2} sim operatorname {CMP} ( lambda _ {2}, nu)}$ jsou nezávislý, pak ${ displaystyle X_ {1} , | , X_ {1} + X_ {2} = n sim operatorname {CMB} (n, lambda _ {1} / ( lambda _ {1} + lambda _ {2}), nu)}$.

Součet možných přidružených Bernoulliho náhodných proměnných

Náhodná proměnná ${ displaystyle Y sim operatorname {CMB} (n, p, nu)}$ lze psát ^[1] jako součet vyměnitelné Bernoulliho náhodné proměnné ${ displaystyle Z_ {1}, ldots, Z_ {n}}$ uspokojující

${ displaystyle Pr (Z_ {1} = z_ {1}, ldots, Z_ {n} = z_ {n}) = { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} p ^ {k} (1-p) ^ {nk},}$

kde ${ displaystyle k = z_ {1} + cdots + z_ {n}}$. Všimněte si, že ${ displaystyle operatorname {E} Z_ {1} not = p}$ obecně, pokud ${ displaystyle nu = 1}$.

Generování funkcí

Nechat

${ displaystyle T (x, nu) = součet _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} { binom {n} {k}} ^ { nu}.}$

Poté funkce generující pravděpodobnost, funkce generování momentů a charakteristická funkce jsou dány:^[2]

${ displaystyle G (t) = { frac {T (tp / (1-p), nu)} {T (p (1-p), nu)}},}$

${ displaystyle M (t) = { frac {T ( mathrm {e} ^ {t} p / (1-p), nu)} {T (p (1-p), nu)}} ,}$

${ displaystyle varphi (t) = { frac {T ( mathrm {e} ^ { mathrm {i} t} p / (1-p), nu)} {T (p (1-p) , nu)}}.}$

Okamžiky

Obecně ${ displaystyle nu}$, neexistují výrazy uzavřené formy pro momenty distribuce CMB. Následující čistý vzorec je však k dispozici.^[3] Nechat ${ displaystyle (j) _ {r} = j (j-1) cdots (j-r + 1)}$ označit klesající faktoriál. Nechat ${ displaystyle Y sim operatorname {CMB} (n, p, nu)}$, kde ${ displaystyle nu> 0}$. Pak

${ displaystyle operatorname {E} [((Y) _ {r}) ^ { nu}] = { frac {C_ {nr, p, nu}} {C_ {n, p, nu}} } ((n) _ {r}) ^ { nu} p ^ {r} ,,}$

pro ${ displaystyle r = 1, ldots, n-1}$.

Režim

Nechat ${ displaystyle Y sim operatorname {CMB} (n, p, nu)}$ a definovat

${ displaystyle a = { frac {n + 1} {1+ left ({ frac {1-p} {p}} right) ^ {1 / nu}}}}$

Pak režimu z ${ displaystyle Y}$ je ${ displaystyle lfloor a rfloor}$ -li ${ displaystyle a}$ není celé číslo. Jinak režimy ${ displaystyle Y}$ jsou ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle a-1}$.^[3]

Steinová charakterizace

Nechat ${ displaystyle Y sim operatorname {CMB} (n, p, nu)}$a předpokládejme to ${ displaystyle f: mathbb {Z} ^ {+} mapsto mathbb {R}}$ je takový ${ displaystyle operatorname {E} | f (Y + 1) | < infty}$ a ${ displaystyle operatorname {E} | Y ^ { nu} f (Y) | < infty}$. Pak ^[3]

${ displaystyle operatorname {E} [p (n-Y) ^ { nu} f (Y + 1) - (1-p) Y ^ { nu} f (Y)] = 0.}$

Aproximace distribucí Conway – Maxwell – Poisson

Opravit ${ displaystyle lambda> 0}$ a ${ displaystyle nu> 0}$ a nechte ${ displaystyle Y_ {n} sim mathrm {CMB} (n, lambda / n ^ { nu}, nu)}$ Pak ${ displaystyle Y_ {n}}$ konverguje v distribuci do ${ displaystyle mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$ distribuce jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$.^[3] Tento výsledek zobecňuje klasickou Poissonovu aproximaci binomického rozdělení.

Conway – Maxwell – Poissonovo binomické rozdělení

Nechat ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ být Bernoulliho náhodné proměnné s společná distribuce dána

${ displaystyle Pr (X_ {1} = x_ {1}, ldots, X_ {n} = x_ {n}) = { frac {1} {C_ {n} '}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} prod _ {j = 1} ^ {n} p_ {j} ^ {x_ {j}} (1-p_ {j}) ^ {1-x_ {j} },}$

kde ${ displaystyle k = x_ {1} + cdots + x_ {n}}$ a normalizační konstanta ${ displaystyle C_ {n} ^ { prime}}$ darováno

${ displaystyle C_ {n} '= součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} součet _ {A v F_ {k}} prod _ {i in A} p_ {i} prod _ {j v A ^ {c}} (1-p_ {j}),}$

kde

${ displaystyle F_ {k} = left {A subseteq {1, ldots, n }: | A | = k right }.}$

Nechat ${ displaystyle W = X_ {1} + cdots + X_ {n}}$. Pak ${ displaystyle W}$ má hromadnou funkci

${ displaystyle Pr (W = k) = { frac {1} {C_ {n} '}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} součet _ {A ve F_ {k}} prod _ {i in A} p_ {i} prod _ {j v A ^ {c}} (1-p_ {j}),}$

pro ${ displaystyle k = 0,1, ldots, n}$. Tato distribuce zobecňuje Poissonovo binomické rozdělení způsobem analogickým k CMP a CMB zobecnění Poissonova a binomického rozdělení. Taková náhodná proměnná se proto říká ^[3] sledovat Conway – Maxwell – Poissonovo binomické (CMPB) rozdělení. To by nemělo být zaměňováno s poněkud nešťastnou terminologií Conway – Maxwell – Poisson – binomický, kterou používal ^[1] pro distribuci CMB.

Pouzdro ${ displaystyle nu = 1}$ je obvyklé Poissonovo binomické rozdělení a případ ${ displaystyle p_ {1} = cdots = p_ {n} = p}$ je ${ displaystyle operatorname {CMB} (n, p, nu)}$ rozdělení.

Reference