Konvexní míra - Convex measure - Wikipedia

v opatření a teorie pravděpodobnosti v matematika, a konvexní míra je míra pravděpodobnosti že - volně řečeno - nepřidělí více hmoty žádné mezilehlé množině „mezi“ dvěma měřitelné sady A a B než to dělá A nebo B jednotlivě. Existuje několik způsobů, jak srovnávat pravděpodobnosti A a B a lze vytvořit mezilehlou množinu, což vede k několika definicím konvexity, jako např logická konkávnost, harmonická konvexnost, a tak dále. The matematik Christer Borell byl průkopníkem podrobného studia konvexních opatření na lokálně konvexní mezery v 70. letech.^[1][2]

Obecná definice a zvláštní případy

Nechat X být lokálně konvexní Hausdorff vektorový prostor a zvažte míru pravděpodobnosti μ na Borel σ-algebra z X. Opravit −∞ ≤ s ≤ 0 a definujte pro u, proti ≥ 0 a 0 ≤ λ ≤ 1,

${ displaystyle M_ {s, lambda} (u, v) = { begin {cases} ( lambda u ^ {s} + (1- lambda) v ^ {s}) ^ {1 / s} & { text {if}} - infty$

Pro podmnožiny A a B z X, píšeme

${ displaystyle lambda A + (1- lambda) B = { lambda x + (1- lambda) y mid x v A, y v B }}$

pro jejich Minkowského součet. S touto notací opatření μ se říká, že je s-konvexní^[1] pokud pro všechny podmnožiny měřitelné Borelem A a B z X a všech 0 ≤ λ ≤ 1,

${ displaystyle mu ( lambda A + (1- lambda) B) geq M_ {s, lambda} ( mu (A), mu (B)).}$

Zvláštní případ s = 0 je nerovnost

${ displaystyle mu ( lambda A + (1- lambda) B) geq mu (A) ^ { lambda} mu (B) ^ {1- lambda},}$

tj.

${ Displaystyle log mu ( lambda A + (1- lambda) B) geq lambda log mu (A) + (1- lambda) log mu (B).}$

Míra, která je 0-konvexní, je tedy stejná jako je logaritmicky konkávní míra.

Vlastnosti

Třídy s-konvexní míry tvoří vnořenou rostoucí rodinu jako s klesá na −∞ "

${ displaystyle s leq t { text {and}} mu { text {is}} t { text {-convex}} implikuje mu { text {is}} s { text {-konvex }}}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle s leq t implikuje {s { text {-konvexní míry}} } supseteq {t { text {-konvexní míry}} }.}$

Sbírka −∞-konvexních měr je tedy největší takovou třídou, zatímco 0-konvexní míry (logaritmicky konkávní míry) jsou nejmenší třídou.

Konvexita opatření μ na n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ ve výše uvedeném smyslu úzce souvisí s jeho konvexitou funkce hustoty pravděpodobnosti.^[2] Vskutku, μ je s-konvexní, pokud a pouze pokud existuje absolutně kontinuální opatření ν s funkcí hustoty pravděpodobnosti ρ na některých R^k aby μ je tlačit kupředu na ν pod lineární nebo afinní mapa a ${ displaystyle e_ {s, k} circ rho colon mathbb {R} ^ {k} to mathbb {R}}$ je konvexní funkce, kde

${ displaystyle e_ {s, k} (t) = { begin {cases} t ^ {s / (1-sk)} & { text {if}} - infty$

Konvexní opatření také uspokojí a zákon nula jedna: pokud G je měřitelná aditivní podskupina vektorového prostoru X (tj. měřitelný lineární podprostor), pak vnitřní míra z G pod μ,

${ displaystyle mu _ { ast} (G) = sup { mu (K) mid K subseteq G { text {a}} K { text {je kompaktní}} },}$

musí být 0 nebo 1. (V případě, že μ je Radonová míra, a tedy vnitřní pravidelné, Měření μ a jeho vnitřní míra se shoduje, takže μ- opatření G je pak 0 nebo 1.)^[1]

Reference