Spojitá geometrie - Continuous geometry

V matematice spojitá geometrie je analogem komplexu projektivní geometrie představil von Neumann  (1936, 1998 ), kde místo dimenze podprostoru v diskrétní množině 0, 1, ..., n, může to být prvek jednotkového intervalu [0,1]. Von Neumann byl motivován svým objevem von Neumannovy algebry s funkcí kóty, která bere spojitý rozsah rozměrů, a prvním příkladem spojité geometrie jiné než projektivní prostor byly projekce hyperfinitní faktor typu II.

Definice

Menger a Birkhoff dali axiomy pro projektivní geometrii, pokud jde o mřížku lineárních podprostorů projektivního prostoru. Von Neumannovy axiomy pro spojitou geometrii jsou oslabenou formou těchto axiomů.

Spojitá geometrie je a mříž L s následujícími vlastnostmi

  • L je modulární.
  • L je kompletní.
  • Mřížové operace ∧, ∨ uspokojují určitou vlastnost spojitosti,
    , kde A je řízená sada a pokud α < β pak Aα < Aβ, a stejný stav s obrácenými ∧ a ∨.
  • Každý prvek v L má doplněk (nemusí být nutně jedinečný). Doplněk prvku A je prvek b s A ∧ b = 0, A ∨ b = 1, kde 0 a 1 jsou minimální a maximální prvky L.
  • L je ireducibilní: to znamená, že jediné prvky s jedinečnými doplňky jsou 0 a 1.

Příklady

  • Konečně-dimenzionální komplexní projektivní prostor, nebo spíše jeho sada lineárních podprostorů, je spojitá geometrie, přičemž dimenze nabývají hodnot v samostatné sadě {0, 1 /n, 2/n, ..., 1}
  • Projekce konečné typu II von Neumannovy algebry tvoří spojitou geometrii s rozměry, které nabývají hodnot v jednotkovém intervalu [0,1].
  • Kaplansky (1955) ukázal, že každý orthocomplemented kompletní modulární mřížka je spojitá geometrie.
  • Li PROTI je vektorový prostor nad a pole (nebo dělící prsten ) F, pak existuje přirozená mapa z mřížky PG (PROTI) podprostorů PROTI do mřížky podprostorů PROTI⊗F2 který vynásobí rozměry o 2. Takže můžeme vzít a přímý limit z
To má dimenzionální funkci s hodnotami všechny dyadické racionály mezi 0 a 1. Jeho dokončením je spojitá geometrie obsahující prvky každé dimenze v [0,1]. Tuto geometrii zkonstruoval von Neumann (1936b), a nazývá se spojitá geometrie nad „F“

Dimenze

Tato část shrnuje některé výsledky von Neumann (1998, Část I). Tyto výsledky jsou podobné a byly motivovány von Neumannovou prací na projekcích von Neumannovych algeber.

Dva prvky A a b z L jsou nazývány perspektivní, psaný A ∼ b, pokud mají společný doplněk. Tohle je vztah ekvivalence na L; důkaz, že je tranzitivní, je docela tvrdý.

Třídy ekvivalence A, B, ... ze dne L mít na nich celkovou objednávku definovanou A ≤ B pokud nějaké jsou A v A a b v B s A ≤ b. (To nemusí platit pro všechny A v A a b v B.)

Funkce dimenze D z L do jednotkového intervalu je definován následovně.

  • Pokud třídy ekvivalence A a B obsahovat prvky A a b s A ∧ b = 0 pak jejich součet A + B je definována jako třída ekvivalence A ∨ b. Jinak součet A + B není definován. Pro kladné celé číslo n, produkt nA je definován jako součet n kopie A, pokud je tento součet definován.
  • Pro třídy rovnocennosti A a B s A ne {0} celé číslo [B : A] je definováno jako jedinečné celé číslo n ≥ 0 takhle B = nA + C s C < B.
  • Pro třídy rovnocennosti A a B s A nikoli {0} skutečné číslo (B : A) je definován jako limit [B : C] / [A : C] tak jako C prochází minimální sekvencí: to znamená, že buď C obsahuje minimální nenulový prvek nebo nekonečnou sekvenci nenulových prvků, z nichž každý je nanejvýš polovinou předchozího.
  • D(A) je definován jako ({A} : {1}), kde {A} a {1} jsou třídy ekvivalence obsahující A a 1.

Obrázek uživatele D může to být celý jednotkový interval nebo množina čísel 0, 1 /n, 2/n, ..., 1 pro nějaké kladné celé číslo n. Dva prvky L mít stejný obrázek pod D právě když jsou perspektivní, tak to dává injekci z tříd ekvivalence do podmnožiny jednotkového intervalu. Funkce dimenze D má vlastnosti:

  • Li A < b pak D(A) < D(b)
  • D(A ∨ b) + D(A ∧ b) = D(A) + D(b)
  • D(A) = 0 kdyby a jen kdyby A = 0, a D(A) = 1 kdyby a jen kdyby A = 1
  • 0 ≤ D(A) ≤ 1

Věta o koordinaci

V projektivní geometrii je Veblen – Youngova věta uvádí, že projektivní geometrie dimenze alespoň 3 je izomorfní k projektivní geometrii vektorového prostoru nad dělícím prstencem. To lze zopakovat tak, že říkáme, že podprostory v projektivní geometrii odpovídají hlavní správné ideály maticové algebry nad dělícím prstencem.

Neumann to zobecnil na spojité geometrie a obecněji na doplněné modulární mřížky, a to následovně (Neumann 1998, Část II). Jeho věta říká, že pokud je komplementární modulární mříž L má pořádek[když je definováno jako? ] alespoň 4, pak prvky L odpovídají hlavním právním ideálům a von Neumann pravidelný prsten. Přesněji, pokud má mříž pořádek n pak lze považovat von Neumannův pravidelný prsten za n podle n maticový prsten Mn(R) přes další von Neumannův pravidelný prsten R. Zde má řád doplněná modulární mříž n pokud má homogenní základ n prvky, kde je základ n elementy A1, ..., An takhle Ai ∧ Aj = 0 -li i ≠ j, a A1 ∨ ... ∨ An = 1a základ se nazývá homogenní, pokud jsou dva libovolné prvky perspektivní. Pořadí mřížky nemusí být jedinečné; například každá mřížka má řád 1. Podmínka, že mřížka má řád alespoň 4, odpovídá podmínce, že dimenze je ve větě Veblen – Young alespoň 3, protože projektivní prostor má dimenzi alespoň 3 právě tehdy má sadu nejméně 4 nezávislých bodů.

Naopak, hlavní pravé ideály von Neumannova pravidelného prstence tvoří doplněnou modulární mřížku (Neumann 1998, Část II věta 2.4).

Předpokládejme to R je von Neumannův pravidelný prsten a L jeho mřížka hlavních ideálů ideálu, takže L je doplněná modulární mříž. Neumann to ukázal L je spojitá geometrie právě tehdy R je neredukovatelná úplnost hodnostní prsten.

Reference