Spojitost (teorie pravděpodobnosti) - Contiguity (probability theory)

v teorie pravděpodobnosti, dvě sekvence pravděpodobnostní opatření se říká, že jsou souvislý pokud asymptoticky sdílejí totéž Podpěra, podpora. Tedy pojem souvislost rozšiřuje koncept absolutní kontinuita k posloupnosti opatření.

Koncept byl původně představen Le Cam (1960) jako součást jeho příspěvku k vývoji abstraktního generála asymptotická teorie v matematice statistika. Le Cam pomohl v období vývoje abstraktní obecné asymptotické teorie v matematické statistice. On je nejlépe známý pro obecné pojmy místní asymptotická normalita a souvislost.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle ( Omega _ {n}, { mathcal {F}} _ {n})}$ být posloupností měřitelné prostory, každý vybaven dvěma opatřeními P_n a Q_n.

Říkáme to Q_n je souvislý s ohledem na P_n (označeno Q_n ◁ P_n) pokud pro každou sekvenci A_n z měřitelné sady, P_n(A_n) → 0 naznačuje Q_n(A_n) → 0.
Sekvence P_n a Q_n se říká, že jsou vzájemně sousedící nebo dvou sousedících (označeno Q_n ◁▷ P_n) pokud obojí Q_n sousedí s ohledem na P_n a P_n sousedí s ohledem na Q_n.^[2]

Pojem spojitost úzce souvisí s pojmem absolutní kontinuita. Říkáme, že opatření Q je absolutně kontinuální s ohledem na P (označeno Q ≪ P) pokud pro jakoukoli měřitelnou sadu A, P(A) = 0 naznačuje Q(A) = 0. To znamená, Q je absolutně kontinuální s ohledem na P pokud Podpěra, podpora z Q je podmnožinou podpory P, s výjimkou případů, kdy je to nepravdivé, včetně např. míry, která se soustřeďuje na otevřenou množinu, protože její podpora je uzavřená množina a přiřadí míře nulu hranici, a tak se na hranici může soustředit další míra, a tak mít podpora obsažená v podpoře prvního opatření, ale budou se vzájemně singulární. Stručně řečeno, výrok o absolutní kontinuitě této předchozí věty je nepravdivý. The souvislost vlastnost nahradí tento požadavek asymptotickým: Q_n sousedí s ohledem na P_n pokud "omezující podpora" z Q_n je podmnožinou omezující podpory P_n. Podle výše uvedené logiky je toto tvrzení také nepravdivé.

Je však možné, že každé z opatření Q_n být naprosto kontinuální s ohledem na P_n, zatímco sekvence Q_n není sousedící s ohledem na P_n.

Základní Věta Radon – Nikodym pro absolutně kontinuální opatření uvádí, že pokud Q je naprosto kontinuální s ohledem na P, pak Q má hustota s ohledem na P, označeno jako ƒ = ^dQ⁄_dP, takže pro jakoukoli měřitelnou množinu A

{ displaystyle Q (A) = int _ {A} f , mathrm {d} P, ,}

což je interpretováno jako schopnost „rekonstruovat“ opatření Q ze znalosti míry P a derivát ƒ. Podobný výsledek existuje pro souvislé posloupnosti měr a je dán Třetí lemma Le Cam.

Aplikace

Ekonometrie ^[3]

Viz také

Poznámky

^ Wolfowitz J. (1974) Recenze knihy: „Spojitost pravděpodobnostních opatření: Některé aplikace ve statistice. George G. Roussas“,Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor
^ van der Vaart (1998, str. 87)
^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 11.10.2008. Citováno 2009-11-12.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

Reference

Hájek, J .; Šidák, Z. (1967). Teorie hodnostních testů. New York: Academic Press.
Le Cam, Lucien (1960). "Lokálně asymptoticky normální rodiny distribucí". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.
Roussas, George G. (2001) [1994], „Souvislost pravděpodobnostních opatření“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
van der Vaart, A. W. (1998). Asymptotické statistiky. Cambridge University Press.

Další literatura

Roussas, George G. (1972), Souvislost opatření pravděpodobnosti: Některé aplikace ve statisticeCUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
Scott, D.J. (1982) Souvislost pravděpodobnostních opatření, Australský a novozélandský věstník statistik, 24 (1), 80–88.

externí odkazy

[1] Wolfowitz J. (1974) Recenze knihy: „Spojitost pravděpodobnostních opatření: Některé aplikace ve statistice. George G. Roussas“,Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor

[2] van der Vaart (1998, str. 87)

[3] „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 11.10.2008. Citováno 2009-11-12.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[1]

[2]

[3]