Metrika blízkého horizontu - Near-horizon metric - Wikipedia

The metrika blízkého horizontu (NHM) odkazuje na hranici blízkého horizontu globální metriky a Černá díra. NHM hrají důležitou roli při studiu geometrie a topologie černých děr, ale jsou dobře definované pouze pro extrémní černé díry.^[1][2][3] NHM jsou vyjádřeny v Gaussových nulových souřadnicích a jednou důležitou vlastností je, že závislost na souřadnici ${ displaystyle r}$ je fixní v limitu blízkého horizontu.

NHM extrémních černých děr Reissner – Nordström

Metrika extrémní Reissner – Nordström černá díra je

${ displaystyle ds ^ {2} , = , - { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ {2} , dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ {- 2} dr ^ {2} + r ^ {2} , { big (} d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} { big)} ,.}$

Vezmeme hranici blízkého horizontu

${ displaystyle t mapsto { frac { tilde {t}} { epsilon}} ,, quad r mapsto M + epsilon , { tilde {r}} ,, quad epsilon to 0 ,,}$

a poté, co vynecháme vlnovky, získáme metriku blízko horizontu

${ displaystyle ds ^ {2} = - { frac {r ^ {2}} {M ^ {2}}} , dt ^ {2} + { frac {M ^ {2}} {r ^ { 2}}} , dr ^ {2} + M ^ {2} , { big (} d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} { velký)}}$

NHM extrémních černých děr Kerr

Metrika extrémní Kerr Černá díra (${ displaystyle M = a = J / M}$) v Boyer – Lindquistovy souřadnice lze napsat v následujících dvou poučných formách,^[4][5]

${ displaystyle ds ^ {2} , = , - { frac { rho _ {K} ^ {2} Delta _ {K}} { Sigma ^ {2}}} , dt ^ {2 } + { frac { rho _ {K} ^ {2}} { Delta _ {K}}} , dr ^ {2} + rho _ {K} ^ {2} d theta ^ {2 } + { frac { Sigma ^ {2} sin ^ {2} theta} { rho _ {K} ^ {2}}} { big (} d phi - omega _ {K} , dt { big)} ^ {2} ,,}$

${ displaystyle ds ^ {2} , = , - { frac { Delta _ {K}} { rho _ {K} ^ {2}}} , { big (} dt-M sin ^ {2} theta d phi { big)} ^ {2} + { frac { rho _ {K} ^ {2}} { Delta _ {K}}} , dr ^ {2} + rho _ {K} ^ {2} d theta ^ {2} + { frac { sin ^ {2} theta} { rho _ {K} ^ {2}}} { Big (} Mdt- (r ^ {2} + M ^ {2}) d phi { Big)} ^ {2} ,,}$

kde

${ displaystyle rho _ {K} ^ {2}: = r ^ {2} + M ^ {2} cos ^ {2} theta ,, ; ; Delta _ {K}: = { big (} rM { big)} ^ {2} ,, ; ; Sigma ^ {2}: = { big (} r ^ {2} + M ^ {2} { big)} ^ {2} -M ^ {2} Delta _ {K} sin ^ {2} theta ,, ; ; omega _ {K}: = { frac {2M ^ {2} r} { Sigma ^ {2}}} ,.}$

Vezmeme hranici blízkého horizontu^[6][7]

${ displaystyle t mapsto { frac { tilde {t}} { epsilon}} ,, quad r mapsto M + epsilon , { tilde {r}} ,, quad phi mapsto { tilde { phi}} + { frac {1} {2M epsilon}} { tilde {t}} ,, quad epsilon na 0 ,,}$

a vynecháním vlnovek získáme metriku blízkého horizontu (to se také nazývá extremální Kerrovo hrdlo^[6] )

${ displaystyle ds ^ {2} simeq { frac {1+ cos ^ {2} theta} {2}} , { Big (} - { frac {r ^ {2}} {2M ^ {2}}} , dt ^ {2} + { frac {2M ^ {2}} {r ^ {2}}} , dr ^ {2} + 2M ^ {2} d theta ^ {2 } { Big)} + { frac {4M ^ {2} sin ^ {2} theta} {1+ cos ^ {2} theta}} , { Big (} d phi + { frac {rdt} {2M ^ {2}}} { Big)} ^ {2} ,.}$

NHM extrémních černých děr Kerr – Newman

Extrémní Kerr – Newman černé díry (${ displaystyle r _ {+} ^ {2} = M ^ {2} + Q ^ {2}}$) jsou popsány metrikou^[4][5]

${ displaystyle ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2Mr-Q ^ {2}} { rho _ {KN}}} ! { Big)} dt ^ {2} - { frac {2a sin ^ {2} ! theta , (2Mr-Q ^ {2})} { rho _ {KN}}} dtd phi + rho _ {KN} { velký (} { frac {dr ^ {2}} { Delta _ {KN}}} + d theta ^ {2} { Big)} + { frac { Sigma ^ {2}} { rho _ {KN}}} d phi ^ {2},}$

kde

${ displaystyle Delta _ {KN} ,: = , r ^ {2} -2Mr + a ^ {2} + Q ^ {2} ,, ; ; rho _ {KN} ,: = , r ^ {2} + a ^ {2} cos ^ {2} ! theta ,, ; ; Sigma ^ {2} ,: = , (r ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} - Delta _ {KN} a ^ {2} sin ^ {2} theta ,.}$

Vezmeme-li transformaci blízko horizontu

${ displaystyle t mapsto { frac { tilde {t}} { epsilon}} ,, quad r mapsto M + epsilon , { tilde {r}} ,, quad phi mapsto { tilde { phi}} + { frac {a} {r_ {0} ^ {2} epsilon}} { tilde {t}} ,, quad epsilon na 0 ,, quad { Big (} r_ {0} ^ {2} ,: = , M ^ {2} + a ^ {2} { Big)}}$

a vynecháním vlnovek získá člověk NHM^[7]

${ displaystyle ds ^ {2} simeq { Big (} 1 - { frac {a ^ {2}} {r_ {0} ^ {2}}} sin ^ {2} ! theta { Velký)} vlevo (- { frac {r ^ {2}} {r_ {0} ^ {2}}} dt ^ {2} + { frac {r_ {0} ^ {2}} {r ^ {2}}} dr ^ {2} + r_ {0} ^ {2} d theta ^ {2} right) + r_ {0} ^ {2} sin ^ {2} ! Theta , { Big (} 1 - { frac {a ^ {2}} {r_ {0} ^ {2}}} sin ^ {2} ! Theta { Big)} ^ {- 1} vlevo (d phi + { frac {2arM} {r_ {0} ^ {4}}} dt right) ^ {2} ,.}$

NHM generických černých děr

Kromě výše zmíněných NHM extrémních metrik rodiny Kerr – Newman stacionární NHM lze psát ve formě^[1][2][3][8]

${ displaystyle ds ^ {2} = ({ hat {h}} _ {AB} G ^ {A} G ^ {B} -F) r ^ {2} dv ^ {2} + 2dvdr - { hat {h}} _ {AB} G ^ {B} rdvdy ^ {A} - { hat {h}} _ {AB} G ^ {A} rdvdy ^ {B} + { hat {h}} _ { AB} dy ^ {A} dy ^ {B}}$
${ displaystyle = -F , r ^ {2} dv ^ {2} + 2dvdr + { hat {h}} _ {AB} { big (} dy ^ {A} -G ^ {A} , rdv { big)} { big (} dy ^ {B} -G ^ {B} , rdv { big)} ,,}$

kde metrické funkce ${ displaystyle {F, G ^ {A} }}$ jsou nezávislé na souřadnici r, ${ displaystyle { hat {h}} _ {AB}}$ označuje vnitřní metrika horizontu a ${ displaystyle y ^ {A}}$ jsou izotermické souřadnice na horizontu.

Poznámka: V nulových souřadnicích Gaussian odpovídá horizont černé díry ${ displaystyle r = 0}$.

Viz také

• Extrémní černá díra
• Reissner – Nordströmova metrika
• Metrika Kerr
• Metrika Kerr – Newman

Reference