Složená matice - Compound matrix

v lineární algebra, pobočka matematika, a složená matice je matice jejichž záznamy jsou všichni nezletilí, dané velikosti, jiné matice.^[1] Složené matice jsou úzce spjaty s vnější algebry.

Definice

Nechat $A$ být $m \times n$ matice se skutečnými nebo složitými položkami.^[A] Li $Já$ je podmnožinou ${1, ..., m}$ a $J$ je podmnožinou ${1, ..., n}$ , pak $(Já, J)$ -podmatice z $A$ , psaný $A Já, J$ , je submatice vytvořená z $A$ zachováním pouze těch řádků indexovaných $Já$ a tyto sloupce indexovány $J$ . Li $r = s$ , pak $det A Já, J$ je $(Já, J)$ -Méně důležitý z $A$ .

The rth složená matice z $A$ je matice, označená $C r (A)$ , je definován následovně. Li $r > min (m, n)$ , pak $C r (A)$ je jedinečný $0 \times 0$ matice. V opačném případě, $C r (A)$ má velikost ${ textstyle { binom {m} {r}} krát { binom {n} {r}}}$ . Jeho řádky a sloupce jsou indexovány pomocí $r$ -prvkové podmnožiny ${1, ..., m}$ a ${1, ..., n}$ , respektive v jejich lexikografickém pořadí. Položka odpovídající podmnožinám $Já$ a $J$ je nezletilý $det A Já, J$ .

V některých aplikacích složených matic není přesné uspořádání řádků a sloupců důležité. Z tohoto důvodu někteří autoři neurčují, jak mají být řádky a sloupce seřazeny.^[2]

Zvažte například matici

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 5 & 6 & 7 & 8 9 & 10 & 11 & 12 end {pmatrix}}.}

Řádky jsou indexovány pomocí ${1, 2, 3}$ a sloupce podle ${1, 2, 3, 4}$ . Proto řádky $C 2 (A)$ jsou indexovány množinami

{ displaystyle {1,2 } < {1,3 } < {2,3 }}

a sloupce jsou indexovány pomocí

{ displaystyle {1,2 } < {1,3 } < {1,4 } < {2,3 } < {2,4 } < {3,4 } .}

Pomocí sloupců absolutní hodnoty k označení determinantů je druhá složená matice

{ displaystyle { begin {aligned} C_ {2} (A) & = { begin {pmatrix} left | { begin {smallmatrix} 1 & 2 5 & 6 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 3 5 & 7 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 4 5 & 8 end {smallmatrix}} right | & left | { begin { smallmatrix} 2 & 3 6 & 7 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 2 & 4 6 & 8 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 3 & 4 7 & 8 end {smallmatrix}} right | left | { begin {smallmatrix} 1 & 2 9 & 10 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 3 9 & 11 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 4 9 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 2 & 3 10 & 11 end {smallmatrix} } right | & left | { begin {smallmatrix} 2 & 4 10 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 3 & 4 11 & 12 end {smallmatrix}} right | left | { begin {smallmatrix} 5 & 6 9 & 10 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 5 & 7 9 & 11 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 5 & 8 9 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 6 & 7 10 & 11 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 6 & 8 10 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 7 & 8 11 & 12 end {smallmatrix}} right | end {pmatrix}} & = { begin {pmatrix} -4 & -8 & -12 & -4 & -8 & -4 - 8 & -16 & -24 & -8 & -16 & -8 - 4 & -8 & -12 & -4 & -8 & -4 end {pmatrix}}. End {zarovnáno}}}

Vlastnosti

Nechat $C$ být skalární, $A$ být $m \times n$ matice a $B$ být $n \times str$ matice. Li $k$ je tedy kladné celé číslo $Já k$ označuje $k \times k$ matice identity. Transpozice matice $M$ bude napsáno $M T$ a konjugát transponuje pomocí $M *$ . Pak:^[3]

$C 0 (A) = Já 1$ , a $1 \times 1$ matice identity.
$C 1 (A) = A$ .
$C r (cA) = C r C r (A)$ .
Li $rk A = r$ , pak $rk C. r (A) = 1$ .
Li $1 \leq r \leq n$ , pak ${ displaystyle C_ {r} (I_ {n}) = I _ { binom {n} {r}}}$ .
Li $1 \leq r \leq min (m, n)$ , pak $C r (A T) = C r (A) T$ .
Li $1 \leq r \leq min (m, n)$ , pak $C r (A *) = C r (A) *$ .
$C r (AB) = C r (A) C r (B)$ .
(Cauchy – Binetův vzorec ) $det C r (AB) = (det C r (A)) (det C r (B)$ }.

Předpokládejme navíc, že $A$ je čtvercová matice velikosti $n$ . Pak:^[4]

$C n (A) = det A$ .
Li A má jednu z následujících vlastností, pak také C_r(A):
- Horní trojúhelníkový,
- Spodní trojúhelníkový,
- Úhlopříčka,
- Ortogonální,
- Unitary,
- Symetrický,
- Poustevník,
- Šikmo symetrické,
- Šikmý poustevník,
- Pozitivní určitý,
- Pozitivní semi-definitivní,
- Normální.
Li $A$ je invertibilní, tak také je $C r (A)$ , a $C r (A -1) = C r (A) -1$ .
(Věta Sylvester – Franke) Pokud $1 \leq r \leq n$ , pak ${ displaystyle det C_ {r} (A) = ( det A) ^ { binom {n-1} {r-1}}}$ .^[5]^[6]

Vztah k vnějším schopnostem

Dát $R n$ standardní souřadnicový základ $E 1, ..., E n$ . The $r$ vnější síla $R n$ je vektorový prostor

{ displaystyle wedge ^ {r} mathbf {R} ^ {n}}

jehož základ tvoří formální symboly

{ displaystyle mathbf {e} _ {i_ {1}} klín tečky klín mathbf {e} _ {i_ {r}},}

kde

{ displaystyle i_ {1} < tečky

Předpokládejme to $A$ být $m \times n$ matice. Pak $A$ odpovídá lineární transformaci

{ displaystyle A colon mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R} ^ {m}.}

Užívání $r$ Vnější síla této lineární transformace určuje lineární transformaci

{ displaystyle wedge ^ {r} A colon wedge ^ {r} mathbf {R} ^ {n} to wedge ^ {r} mathbf {R} ^ {m}.}

Matice odpovídající této lineární transformaci (s ohledem na výše uvedené základy vnějších sil) je $C r (A)$ . Převzetí vnějších sil je a funktor, což znamená, že^[7]

{ displaystyle wedge ^ {r} (AB) = ( wedge ^ {r} A) ( wedge ^ {r} B).}

To odpovídá vzorci $C r (AB) = C r (A) C r (B)$ . Úzce souvisí a posiluje Cauchy – Binetův vzorec.

Vztah k přizpůsobení matic

Nechat $A$ být $n \times n$ matice. Připomeňme, že je to $r$ vyšší matice adjugátu $adj r (A)$ je ${ textstyle { binom {n} {r}} krát { binom {n} {r}}}$ matice jehož $(Já, J)$ položka je

{ displaystyle (-1) ^ { sigma (I) + sigma (J)} det A_ {J ^ {c}, I ^ {c}},}

kde pro jakoukoli sadu $K.$ celých čísel, $σ (K.)$ je součet prvků $K.$ . The doplnit z $A$ je jeho 1. vyšší adjugát a je označen $adj (A)$ . Zobecněný Laplaceova expanze vzorec znamená

{ displaystyle C_ {r} (A) operatorname {adj} _ {r} (A) = operatorname {adj} _ {r} (A) C_ {r} (A) = ( det A) I_ { binom {n} {r}}.}

Li $A$ je tedy invertibilní

{ displaystyle operatorname {adj} _ {r} (A ^ {- 1}) = ( det A) ^ {- 1} C_ {r} (A).}

Konkrétním důsledkem toho je Jacobiho vzorec pro nezletilé inverzní matice:

{ displaystyle det (A ^ {- 1}) _ {J ^ {c}, I ^ {c}} = (- 1) ^ { sigma (I) + sigma (J)} { frac { det A_ {I, J}} { det A}}.}

Adjugáty lze také vyjádřit pomocí sloučenin. Nechat $S$ označit znaková matice:

{ displaystyle S = operatorname {diag} (1, -1,1, -1, ldots, (- 1) ^ {n-1}),}

a nechte $J$ označit výměnná matice:

{ displaystyle J = { begin {pmatrix} && 1 & cdots & 1 && end {pmatrix}}.}

Pak Jacobiho věta uvádí, že $r$ vyšší matice adjugátu je:^[8]^[9]

{ displaystyle operatorname {adj} _ {r} (A) = JC_ {n-r} (SAS) ^ {T} J.}

Z Jacobiho věty to okamžitě vyplývá

{ displaystyle C_ {r} (A) , J (C_ {n-r} (SAS)) ^ {T} J = ( det A) I _ { binom {n} {r}}.}

Užívání adjugátů a sloučenin nedojíždí. Sloučeniny adjugátů však lze exprimovat pomocí adjugátů sloučenin a naopak. Z identit

{ displaystyle C_ {r} (C_ {s} (A)) C_ {r} ( operatorname {adj} _ {s} (A)) = ( det A) ^ {r} já,}

{ displaystyle C_ {r} (C_ {s} (A)) operatorname {adj} _ {r} (C_ {s} (A)) = ( det C_ {s} (A)) já,}

a teorém Sylvester-Franke, odvodíme

{ displaystyle operatorname {adj} _ {r} (C_ {s} (A)) = ( det A) ^ {{ binom {n-1} {s-1}} - r} C_ {r} ( operatorname {adj} _ {s} (A)).}

Stejná technika vede k další identitě,

{ displaystyle operatorname {adj} (C_ {r} (A)) = ( det A) ^ {{ binom {n-1} {r-1}} - r} C_ {r} ( operatorname { adj} (A)).}

Aplikace

Výpočet složených matic se objevuje v celé řadě problémů.^[10]

Složené a adjugační matice se objeví při výpočtu determinantů lineárních kombinací matic. Je základní zkontrolovat, zda, pokud $A$ a $B$ jsou $n \times n$ tedy matice

{ displaystyle det (sA + tB) = C_ {n} left ({ begin {bmatrix} sA & I_ {n} end {bmatrix}} right) C_ {n} left ({ begin {bmatrix} I_ {n} tB end {bmatrix}} right).}

Je také pravda, že:^[11]^[12]

{ displaystyle det (sA + tB) = součet _ {r = 0} ^ {n} s ^ {r} t ^ {nr} operatorname {tr} ( operatorname {adj} _ {r} (A ) C_ {r} (B)).}

To má okamžitý důsledek

{ displaystyle det (I + A) = součet _ {r = 0} ^ {n} operatorname {tr} operatorname {adj} _ {r} (A) = sum _ {r = 0} ^ {n} operatorname {tr} C_ {r} (A).}

Numerický výpočet

Obecně je výpočet složených matic neefektivní kvůli jeho vysoké složitosti. Nicméně pro skutečné matice se speciálními strukturami jsou k dispozici některé efektivní algoritmy.^[13]

Poznámky

^ Definice a čistě algebraická část teorie složených matic vyžaduje pouze to, aby matice obsahovala položky v komutativní prsten. V tomto případě matice odpovídá homomorfismu konečně generovaných volných modulů.

^ Horn, Roger A. a Johnson, Charles R., Maticová analýza, 2. vydání, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6, str. 21
^ Kung, Rota a Yan, str. 305.
^ Horn a Johnson, str. 22.
^ Horn a Johnson, s. 22, 93, 147, 233.
^ Tornheim, Leonard (1952). „Věta Sylvester – Franke“. Americký matematický měsíčník. 59 (6): 389–391. doi:10.2307/2306811. ISSN 0002-9890. JSTOR 2306811.
^ Harley Flanders (1953) „Note on the Sylvester-Franke Theorem“, Americký matematický měsíčník 60: 543–5, PAN0057835
^ Joseph P.S. Kung, Gian-Carlo Rota a Catherine H. Yan, Kombinatorika: cesta Rota, Cambridge University Press, 2009, s. 306. ISBN 9780521883894
^ Nambiar, K.K .; Sreevalsan, S. (2001). "Složené matice a tři slavné věty". Matematické a počítačové modelování. 34 (3–4): 251–255. doi:10.1016 / S0895-7177 (01) 00058-9. ISSN 0895-7177.
^ Cena, G. B. (1947). "Některé identity v teorii determinantů". Americký matematický měsíčník. 54 (2): 75–90. doi:10.2307/2304856. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304856.
^ D.L., Boutin; R.F. Gleeson; R.M. Williams (1996). Klínová teorie / složené matice: vlastnosti a aplikace (Technická zpráva). Úřad námořního výzkumu. NAWCADPAX – 96-220-TR.
^ Prells, Uwe; Friswell, Michael I .; Garvey, Seamus D. (02.02.2003). "Použití geometrické algebry: složené matice a determinant součtu dvou matic". Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 459 (2030): 273–285. doi:10.1098 / rspa.2002.1040. ISSN 1364-5021.
^ Horn a Johnson, str. 29
^ Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (01.02.2009). "Složené matice: vlastnosti, numerické úlohy a analytické výpočty" (PDF). Numerické algoritmy. 50 (2): 155. doi:10.1007 / s11075-008-9222-7. ISSN 1017-1398.

Reference

Gantmacher, F. R. a Kerin, M. G., Oscilační matice a jádra a malé vibrace mechanických systémů, Přepracované vydání. Americká matematická společnost, 2002. ISBN 978-0-8218-3171-7

[2] Definice a čistě algebraická část teorie složených matic vyžaduje pouze to, aby matice obsahovala položky v komutativní prsten. V tomto případě matice odpovídá homomorfismu konečně generovaných volných modulů.

[1] Horn, Roger A. a Johnson, Charles R., Maticová analýza, 2. vydání, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6, str. 21

[3] Kung, Rota a Yan, str. 305.

[4] Horn a Johnson, str. 22.

[5] Horn a Johnson, s. 22, 93, 147, 233.

[Tornheim1952-6] Tornheim, Leonard (1952). „Věta Sylvester – Franke“. Americký matematický měsíčník. 59 (6): 389–391. doi:10.2307/2306811. ISSN 0002-9890. JSTOR 2306811.

[7] Harley Flanders (1953) „Note on the Sylvester-Franke Theorem“, Americký matematický měsíčník 60: 543–5, PAN0057835

[8] Joseph P.S. Kung, Gian-Carlo Rota a Catherine H. Yan, Kombinatorika: cesta Rota, Cambridge University Press, 2009, s. 306. ISBN 9780521883894

[NambiarSreevalsan2001-9] Nambiar, K.K .; Sreevalsan, S. (2001). "Složené matice a tři slavné věty". Matematické a počítačové modelování. 34 (3–4): 251–255. doi:10.1016 / S0895-7177 (01) 00058-9. ISSN 0895-7177.

[Price1947-10] Cena, G. B. (1947). "Některé identity v teorii determinantů". Americký matematický měsíčník. 54 (2): 75–90. doi:10.2307/2304856. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304856.

[11] D.L., Boutin; R.F. Gleeson; R.M. Williams (1996). Klínová teorie / složené matice: vlastnosti a aplikace (Technická zpráva). Úřad námořního výzkumu. NAWCADPAX – 96-220-TR.

[12] Prells, Uwe; Friswell, Michael I .; Garvey, Seamus D. (02.02.2003). "Použití geometrické algebry: složené matice a determinant součtu dvou matic". Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 459 (2030): 273–285. doi:10.1098 / rspa.2002.1040. ISSN 1364-5021.

[13] Horn a Johnson, str. 29

[14] Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (01.02.2009). "Složené matice: vlastnosti, numerické úlohy a analytické výpočty" (PDF). Numerické algoritmy. 50 (2): 155. doi:10.1007 / s11075-008-9222-7. ISSN 1017-1398.

[1]

[A]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]