Komplexně zaměřená teorie cohomologie - Complex-oriented cohomology theory

v algebraická topologie, a komplexně orientovatelná teorie cohomologie je teorie multiplikativní kohomologie E taková, že mapa omezení ${ displaystyle E ^ {2} ( mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty}) do E ^ {2} ( mathbb {C} mathbf {P} ^ {1})}$ je surjektivní. Prvek ${ displaystyle E ^ {2} ( mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty})}$ který se omezuje na kanonický generátor redukované teorie ${ displaystyle { widetilde {E}} ^ {2} ( mathbb {C} mathbf {P} ^ {1})}$ se nazývá a komplexní orientace. Pojem je pro Quillenovu práci týkající se kohomologie ústřední formální zákony o skupině.^{[Citace je zapotřebí ]}

Pokud E je rovnoměrný význam teorie ${ displaystyle pi _ {3} E = pi _ {5} E = cdots}$ , pak E je komplexně orientovatelný. To vyplývá z Spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch.

Příklady:

Obyčejná kohomologie s jakýmkoli prstencem koeficientu R je komplexně orientovatelný, as ${ displaystyle operatorname {H} ^ {2} ( mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty}; R) simeq operatorname {H} ^ {2} ( mathbb {C} mathbf {P} ^ {1}; R)}$ .
Komplex K.-teorie, označeno KU, je komplexně orientovatelný, protože je rovnoměrně odstupňovaný. (Bottova věta o periodicitě )
Komplexní cobordism, jehož spektrum označuje MU, je komplexně orientovatelný.

Složitá orientace, říkejte tomu t, vede k formálnímu zákonu o skupině takto: let m být násobení

{ displaystyle mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty} times mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty} do mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty}, ([x], [y]) mapsto [xy]}

kde ${ displaystyle [x]}$ označuje čáru procházející skrz X v podkladovém vektorovém prostoru ${ displaystyle mathbb {C} [t]}$ z ${ displaystyle mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty}}$ . Toto je mapa klasifikující tenzorový produkt univerzálního svazku linek ${ displaystyle mathbb {C} mathbf {P} ^ { infty}}$ . Prohlížení