Landau – Lifshitzův model - Landau–Lifshitz model - Wikipedia

v fyzika pevných látek, Landau – Lifshitzova rovnice (LLE), pojmenovaný pro Lev Landau a Evgeny Lifshitz, je parciální diferenciální rovnice popisující časový vývoj magnetismus v pevných látkách, v závislosti na 1 časové proměnné a 1, 2 nebo 3 prostorových proměnných.

Landau – Lifshitzova rovnice

LLE popisuje anizotropní magnet. Rovnice je popsána v (Faddeev & Takhtajan 2007, kapitola 8) následovně: Je to rovnice pro a vektorové pole S, jinými slovy funkce na R¹⁺ⁿ přijímání hodnot v R³. Rovnice závisí na pevném symetrickém 3 x 3 matice J, obvykle se předpokládá, že je úhlopříčka; to je ${ displaystyle J = operatorname {diag} (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3})}$. Je to dáno Hamiltonovou pohybovou rovnicí pro Hamiltonian

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} int left [ sum _ {i} left ({ frac { částečné mathbf {S}} { částečné x_ {i}}} right) ^ {2} -J ( mathbf {S}) right] , dx qquad (1)}$

(kde J(S) je kvadratická forma J aplikován na vektor S)který je

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {S}} { částečné t}} = mathbf {S} klín součet _ {i} { frac { částečné ^ {2} mathbf {S} } { částečné x_ {i} ^ {2}}} + mathbf {S} klín J mathbf {S}. qquad (2)}$

V dimenzích 1 + 1 je tato rovnice

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {S}} { částečné t}} = mathbf {S} klín { frac { částečné ^ {2} mathbf {S}} { částečné x ^ {2}}} + mathbf {S} klín J mathbf {S}. Qquad (3)}$

V dimenzích 2 + 1 má tato rovnice tvar

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {S}} { částečné t}} = mathbf {S} klín doleva ({ frac { částečné ^ {2} mathbf {S}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} mathbf {S}} { částečné y ^ {2}}} vpravo) + mathbf {S} klín J mathbf { S} qquad (4)}$

což je (2 + 1) -dimenzionální LLE. Pro (3 + 1) -dimenzionální případ vypadá LLE

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {S}} { částečné t}} = mathbf {S} klín doleva ({ frac { částečné ^ {2} mathbf {S}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} mathbf {S}} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} mathbf {S }} { částečné z ^ {2}}} vpravo) + mathbf {S} klín J mathbf {S}. qquad (5)}$

Integrovatelná snížení

Obecně je LLE (2) neintegrovatelný. Připouští však dvě integrovatelná omezení:

a) v rozměrech 1 + 1, tj. ekv. (3), je to integrovatelné

b) kdy ${ displaystyle J = 0}$. V tomto případě se (1 + 1) -dimenzionální LLE (3) změní na spojitá klasická Heisenbergova feromagnetická rovnice (viz např. Heisenbergův model (klasický) ), který je již integrovatelný.

Viz také

• Nelineární Schrödingerova rovnice
• Heisenbergův model (klasický)
• Točivá vlna
• Mikromagnetismus
• Ishimoriho rovnice
• Magnet
• Feromagnetismus

Reference

• Faddeev, Ludwig D .; Takhtajan, Leon A. (2007), Hamiltonovské metody v teorii solitonů, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, str. X + 592, doi:10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN  978-3-540-69843-2, PAN  2348643
• Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Landau-Lifshitzovy rovnice, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, ISBN  978-981-277-875-8
• Kosevich A.M., Ivanov B.A., Kovalev A.S. Nelineární magnetizační vlny. Dynamické a topologické solitony. - Kyjev: Naukova Dumka, 1988. - 192 s.