Dokonalá teorie obstrukce - Perfect obstruction theory - Wikipedia

V algebraické geometrii, vzhledem k Deligne – Mumford stack X, a teorie dokonalé obstrukce pro X skládá se z:

1. A perfektní dvoudobý komplex ${ displaystyle E = [E ^ {- 1} do E ^ {0}]}$ v odvozená kategorie ${ displaystyle D ({ text {Qcoh}} - { mathcal {O}} _ {X})}$ kvazi-koherentního étale X, a
2. morfismus ${ displaystyle varphi: E až { textbf {L}} _ {X}}$, kde ${ displaystyle { textbf {L}} _ {X}}$ je kotangensový komplex z X, který vyvolává isomorfismus na ${ displaystyle h ^ {0}}$ a epimorfismus ${ displaystyle h ^ {- 1}}$.

Pojem představil (Behrend – Fantechi 1997 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFBehrend – Fantechi1997 (Pomoc) pro aplikaci na teorii průniků na modulových komínech; zejména definovat a virtuální základní třída.

Příklady

Schémata

Zvažte a pravidelné vkládání ${ displaystyle i: Y to W}$ zapadající do kartézského čtverce

${ displaystyle { begin {matrix} X & { xrightarrow {j}} & V g downarrow && downarrow f Y & { xrightarrow {i}} & W end {matrix}}}$

kde ${ displaystyle V, W}$ jsou hladké. Pak komplex

${ displaystyle E ^ { bullet} = [g ^ {*} N_ {Y / W} ^ { vee} až j ^ {*} Omega _ {V}]}$ (ve stupních ${ displaystyle -1,0}$)

tvoří dokonalou obstrukční teorii pro X.^[1] Mapa pochází z kompozice

${ displaystyle g ^ {*} N_ {Y / W} ^ { vee} až g ^ {*} i ^ {*} Omega _ {W} = j ^ {*} f ^ {*} Omega _ {W} to j ^ {*} Omega _ {V}}$

Jedná se o dokonalou obstrukční teorii, protože komplex je vybaven mapou k ${ displaystyle mathbf {L} _ {X} ^ { odrážka}}$ pocházející z map ${ displaystyle g ^ {*} mathbf {L} _ {Y} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {X} ^ { bullet}}$ a ${ displaystyle j ^ {*} mathbf {L} _ {V} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {X} ^ { bullet}}$. Všimněte si, že přidružená virtuální základní třída je ${ displaystyle [X, E ^ { bullet}] = i ^ {!} [V]}$

Příklad 1

Zvažte hladkou projektivní rozmanitost ${ displaystyle Y podmnožina mathbb {P} ^ {n}}$. Pokud jsme nastavili ${ displaystyle V = W}$, pak dokonalá teorie obstrukce v ${ displaystyle D ^ {[- 1,0]} (X)}$ je

${ displaystyle [N_ {X / mathbb {P} ^ {n}} ^ { vee} to Omega _ { mathbb {P} ^ {n}}]}$

a přidružená virtuální základní třída je

${ displaystyle [X, E ^ { bullet}] = i ^ {!} [ mathbb {P} ^ {n}]}$

Zejména pokud ${ displaystyle Y}$ je hladký lokální úplný průnik, pak dokonalou teorií obstrukce je kotangensový komplex (který je stejný jako zkrácený kotangensový komplex).

Deligne – Mumford stacky

Předchozí konstrukce funguje také se zásobníky Deligne – Mumford.

Symetrická teorie obstrukce

Podle definice a teorie symetrické obstrukce je dokonalá obstrukční teorie spolu s nedgenerovanou symetrickou bilineární formou.

Příklad: Let F být běžnou funkcí plynulé odrůdy (nebo zásobníku). Pak sada kritických bodů F nese kanonickým způsobem symetrickou teorii obstrukce.

Příklad: Let M být komplexním symplektickým potrubím. Pak (schéma-teoretický) průsečík z Lagrangian submanifolds z M nese kanonickou teorii symetrické obstrukce.

Poznámky

Reference

• Behrend, K. (2005). „Donaldson – Thomasovy invarianty pomocí mikrolokové geometrie“. arXiv:matematika / 0507523v2.
• Behrend, K .; Fantechi, B. (01.03.1997). "Vnitřní normální kužel". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. arXiv:alg-geom / 9601010. Bibcode:1997InMat.128 ... 45B. doi:10,1007 / s002220050136. ISSN  0020-9910.
• Oesinghaus, Jakob (2015-07-20). „Porozumění kuželu obstrukce symetrické teorie obstrukce“. MathOverflow. Citováno 2017-07-19.

Viz také

• Funkce Behrend
• Gromov – Wittenův invariant