Řetěz - kompletní částečná objednávka - Chain-complete partial order
v matematika konkrétně teorie objednávek, a částečně objednaná sada je řetěz kompletní pokud každý řetěz v něm má nejmenší horní mez. to je ω-kompletní při každé rostoucí posloupnosti prvků (typ počitatelný řetěz) má nejméně horní mez; stejnou představu lze rozšířit i na další světové strany řetězců.[1]
Příklady
Každý úplná mříž je kompletní. Na rozdíl od úplných svazů jsou řetězové úplety relativně běžné. Mezi příklady patří:
- Sada všech lineárně nezávislé podmnožiny a vektorový prostor PROTI, objednáno někým zařazení.
- Sada všech dílčí funkce na setu, objednal omezení.
- Sada všech částečných funkce výběru na kolekci neprázdných sad seřazených podle omezení.
- Sada všech hlavní ideály a prsten, objednáno zahrnutím.
- Sada všech konzistentní teorie a jazyk prvního řádu.
Vlastnosti
Poset je kompletní řetěz právě tehdy, když je špičaté dcpo.[1] Tato rovnocennost však vyžaduje: axiom volby.
Zornovo lemma uvádí, že pokud má poset horní mez pro každý řetězec, pak má a maximální prvek. Platí tedy pro posety s kompletním řetězcem, ale je obecnější v tom, že umožňuje řetězce, které mají horní hranice, ale nemají nejméně horní hranice.
Řetězce kompletní posety také poslouchají Bourbakiho-Wittova věta, a věta o pevném bodě s uvedením, že pokud F je funkce od řetězce poset k sobě s vlastností, že pro všechny X, F(X) ≥ X, pak F má pevný bod. Tuto větu lze zase použít k prokázání, že Zornovo lemma je důsledkem axiom volby.[2][3]
Analogicky s Dokončení Dedekind – MacNeille z částečně objednané sady lze každou částečně objednanou sadu jedinečně rozšířit na minimální poset úplného řetězce.[1]
Viz také
Reference
- ^ A b C Markowsky, George (1976), „Řetězce kompletních posetů a řízených sad s aplikacemi“, Algebra Universalis, 6 (1): 53–68, doi:10.1007 / bf02485815, PAN 0398913.
- ^ Bourbaki, Nicolasi (1949), „Sur le théorème de Zorn“, Archiv der Mathematik, 2: 434–437 (1951), doi:10.1007 / bf02036949, PAN 0047739.
- ^ Witt, Ernst (1951), „Beweisstudien zum Satz von M. Zorn“, Mathematische Nachrichten, 4: 434–438, doi:10,1002 / many.3210040138, PAN 0039776.