Cantellisova nerovnost - Cantellis inequality - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Cantelliho nerovnost je zobecněním Čebyševova nerovnost v případě jediného „ocasu“.^[1][2][3] Nerovnost to říká

${ displaystyle Pr (X- mathbb {E} [X] geq lambda) quad { begin {cases} leq { frac { sigma ^ {2}} { sigma ^ {2} + lambda ^ {2}}} & { text {if}} lambda> 0, [8pt] geq 1 - { frac { sigma ^ {2}} { sigma ^ {2} + lambda ^ {2}}} & { text {if}} lambda <0. end {cases}}}$

kde

${ displaystyle X}$ má skutečnou hodnotu náhodná proměnná,

${ displaystyle Pr}$ je míra pravděpodobnosti,

${ displaystyle mathbb {E} [X]}$ je očekávaná hodnota z ${ displaystyle X}$,

${ displaystyle sigma ^ {2}}$ je rozptyl z ${ displaystyle X}$.

Kombinace případů ${ displaystyle lambda> 0}$ a ${ displaystyle lambda <0}$ dává, pro ${ displaystyle delta> 0,}$

${ displaystyle Pr (| X- mathbb {E} [X] | geq delta) leq { frac {2 sigma ^ {2}} { sigma ^ {2} + delta ^ {2 }}}.}$

Slabší verze Čebyševova nerovnost.

Zatímco nerovnost je často přičítána Francesco Paolo Cantelli kdo ji publikoval v roce 1928,^[4] pochází z Čebyševova díla z roku 1874.^[5] Čebyševova nerovnost to znamená v každém vzorek dat nebo rozdělení pravděpodobnosti „téměř všechny“ hodnoty jsou blízké znamenat z hlediska absolutní hodnota rozdílu mezi body vzorku dat a váženým průměrem vzorku dat. Cantelliho nerovnost (někdy označovaná jako „Čebyšev – Cantelliho nerovnost“ nebo „jednostranná Čebyševova nerovnost“) poskytuje způsob, jak odhadnout, jak jsou body vzorku dat větší než nebo menší než jejich vážený průměr bez dvou ocasů odhad absolutní hodnoty. Čebyševova nerovnost ano "verze s vyššími momenty" a "vektorové verze" a stejně tak i Cantelliho nerovnost.

Důkaz

Případ ${ displaystyle lambda> 0}$

Nechat ${ displaystyle X}$ být náhodná proměnná se skutečnou hodnotou s konečnou odchylkou ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ a očekávání ${ displaystyle mu}$a definovat ${ displaystyle Y = X- mathbb {E} [X]}$ (aby ${ displaystyle mathbb {E} [Y] = 0}$ a ${ displaystyle operatorname {Var} (Y) = sigma ^ {2}}$).

Pak pro všechny ${ displaystyle u geq 0}$, my máme

${ displaystyle Pr (X- mathbb {E} [X] geq lambda) = Pr (Y geq lambda) = Pr (Y + u geq lambda + u) leq Pr ( (Y + u) ^ {2} geq ( lambda + u) ^ {2}) leq { frac { mathbb {E} [(Y + u) ^ {2}]}} {( lambda + u) ^ {2}}} = { frac { sigma ^ {2} + u ^ {2}} {( lambda + u) ^ {2}}}.}$

poslední nerovnost je důsledkem Markovova nerovnost. Jak je uvedeno výše, platí pro jakoukoli volbu ${ displaystyle u in mathbb {R}}$, můžeme se rozhodnout jej použít s hodnotou, která minimalizuje funkci ${ displaystyle u geq 0 mapsto { frac { sigma ^ {2} + u ^ {2}} {( lambda + u) ^ {2}}}}$. Diferenciací to lze vidět ${ displaystyle u _ { ast} = { frac { sigma ^ {2}} { lambda}}}$, vedoucí k

${ displaystyle Pr (X- mathbb {E} [X] geq lambda) leq { frac { sigma ^ {2} + u _ { ast} ^ {2}} {( lambda + u_ { ast}) ^ {2}}} = { frac { sigma ^ {2}} { lambda ^ {2} + sigma ^ {2}}}}$ -li ${ displaystyle lambda> 0}$

Případ ${ displaystyle lambda <0}$

Při psaní postupujeme jako dříve ${ displaystyle alpha = - lambda> 0}$ a pro všechny ${ displaystyle u geq 0}$

${ displaystyle Pr (X- mathbb {E} [X] < lambda) = Pr (-Y> alfa) leq { frac { sigma ^ {2}} { alfa ^ {2} + sigma ^ {2}}} = { frac { sigma ^ {2}} { lambda ^ {2} + sigma ^ {2}}}}$

pomocí předchozí derivace na ${ displaystyle -Y}$. Tím, že vezmeme doplněk na levé straně, získáme

${ displaystyle Pr (X- mathbb {E} [X] geq lambda) geq 1 - { frac { sigma ^ {2}} { lambda ^ {2} + sigma ^ {2} }}}$ -li ${ displaystyle lambda <0}$

Zobecnění

Pomocí více momentů lze ukázat různé silnější nerovnosti. On, Zhang a Zhang a ukázal,^[6] když${ displaystyle mathbb {E} [X] = 0}$ a${ displaystyle mathbb {E} [X ^ {2}] = 1}$:

${ displaystyle Pr (X geq lambda) leq 1- (2 { sqrt {3}} - 3) { frac {(1+ lambda ^ {2}) ^ {2}} { mathbb {E} [X ^ {4}] + 6 lambda ^ {2} + lambda ^ {4}}}}$

Viz také

• Paley – Zygmundova nerovnost

Reference