Počet pohyblivých povrchů - Calculus of moving surfaces - Wikipedia

Povrch vlajky ve větru je příkladem deformujícího potrubí.

The počet pohyblivých povrchů (CMS) ^[1] je rozšířením klasiky tenzorový počet deformovat rozdělovače. Ústředním bodem CMS je tenzorická časová derivace ${ displaystyle { dot { nabla}}}$ jehož původní definice ^[2] byl předložen Jacques Hadamard. Hraje analogickou roli jako kovarianční derivace ${ displaystyle nabla _ { alpha}}$ na diferenciální potrubí. v tom, že produkuje a tenzor při aplikaci na tenzor.

Jacques Salomon Hadamard, francouzský matematik, 1865–1963 n. L

Předpokládejme to ${ displaystyle Sigma _ {t}}$ je vývoj povrch ${ displaystyle Sigma}$ indexováno časově podobným parametrem ${ displaystyle t}$. Definice povrchu rychlost ${ displaystyle C}$ a operátor ${ displaystyle { dot { nabla}}}$ jsou geometrický základy CMS. Rychlost C je hodnotit deformace povrchu ${ displaystyle Sigma}$ v okamžiku normální směr. Hodnota ${ displaystyle C}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle P}$ je definován jako omezit

${ displaystyle C = lim _ {h to 0} { frac {{ text {Distance}} (P, P ^ {*})} {h}}}$

kde ${ displaystyle P ^ {*}}$ je bod na ${ displaystyle Sigma _ {t + h}}$ která leží na přímce kolmé na ${ displaystyle Sigma _ {t}}$ v bodě P. Tato definice je znázorněna na prvním geometrickém obrázku níže. Rychlost ${ displaystyle C}$ je podepsané množství: je kladné, když ${ displaystyle { overline {PP ^ {*}}}}$ body ve směru zvoleného normálu a jinak záporné. Vztah mezi ${ displaystyle Sigma _ {t}}$ a ${ displaystyle C}$ je analogický vztahu mezi polohou a rychlostí v elementárním počtu: znalost jedné z veličin umožňuje jedné konstruovat druhou pomocí diferenciace nebo integrace.

Geometrická konstrukce povrchové rychlosti C.

Geometrická konstrukce ${ displaystyle delta / delta t}$- derivát invariantního pole F

Tenzorový časový derivát ${ displaystyle { dot { nabla}}}$ pro skalární pole F definované na ${ displaystyle Sigma _ {t}}$ je rychlost změny v ${ displaystyle F}$ v okamžitě normálním směru:

${ displaystyle { frac { delta F} { delta t}} = lim _ {h až 0} { frac {F (P ^ {*}) - F (P)} {h}}}$

Tato definice je také znázorněna na druhém geometrickém obrazci.

Výše uvedené definice jsou geometrický. V analytickém nastavení nemusí být možná přímá aplikace těchto definic. CMS dává analytické definice C a ${ displaystyle { dot { nabla}}}$ z hlediska základních operací od počet a diferenciální geometrie.

Analytické definice

Pro analytické definice ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle { dot { nabla}}}$, zvažte vývoj ${ displaystyle S}$ dána

${ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} vlevo (t, S vpravo)}$

kde ${ displaystyle Z ^ {i}}$ jsou obecné křivočaré vesmírné souřadnice a ${ displaystyle S ^ { alpha}}$ jsou povrchové souřadnice. Podle konvence jsou tenzorové indexy funkčních argumentů zrušeny. Výše uvedené rovnice tedy obsahují ${ displaystyle S}$ spíše než ${ displaystyle S ^ { alpha}}$. Objekt rychlosti ${ displaystyle { textbf {V}} = V ^ {i} { textbf {Z}} _ {i}}$ je definován jako parciální derivace

${ displaystyle V ^ {i} = { frac { částečné Z ^ {i} levé (t, S pravé)} { částečné t}}}$

Rychlost ${ displaystyle C}$ lze vypočítat nejpříměji podle vzorce

${ displaystyle C = V ^ {i} N_ {i}}$

kde ${ displaystyle N_ {i}}$ jsou kovarianční složky normálního vektoru ${ displaystyle { vec {N}}}$.

Také definování reprezentace tenzoru posunu v tangenciálním prostoru povrchu ${ displaystyle Z_ {i} ^ { alpha} = { textbf {S}} ^ { alpha} cdot { textbf {Z}} _ {i}}$ a Tangent Velocity as ${ displaystyle V ^ { alpha} = Z_ {i} ^ { alpha} V ^ {i}}$ , pak definice ${ displaystyle { dot { nabla}}}$ derivát pro neměnný F čte

${ displaystyle { dot { nabla}} F = { frac { částečné F levé (t, S pravé)} { částečné t}} - V ^ { alpha} nabla _ { alfa} F}$

kde ${ displaystyle nabla _ { alpha}}$ je kovarianční derivát na S.

Pro tenzory, je nutné příslušné zobecnění. Správná definice reprezentativního tenzoru ${ displaystyle T_ {j beta} ^ {i alpha}}$ čte

${ displaystyle { dot { nabla}} T_ {j beta} ^ {i alpha} = { frac { částečné T_ {j beta} ^ {i alfa}} { částečné t}} - V ^ { eta} nabla _ { eta} T_ {j beta} ^ {i alpha} + V ^ {m} Gamma _ {mk} ^ {i} T_ {j beta} ^ {k alpha} -V ^ {m} Gamma _ {mj} ^ {k} T_ {k beta} ^ {i alpha} + { dot { Gamma}} _ { eta} ^ { alpha} T_ {j beta} ^ {i eta} - { dot { Gamma}} _ { beta} ^ { eta} T_ {j eta} ^ {i alpha}}$

kde ${ displaystyle Gamma _ {mj} ^ {k}}$ jsou Christoffel symboly a ${ displaystyle { dot { Gamma}} _ { beta} ^ { alpha} = nabla _ { beta} V ^ { alpha} -CB _ { beta} ^ { alpha}}$ jsou příslušné časové symboly povrchu (${ displaystyle B _ { beta} ^ { alpha}}$ je maticová reprezentace operátoru tvaru zakřivení povrchu)

Vlastnosti ${ displaystyle { dot { nabla}}}$-derivát

The ${ displaystyle { dot { nabla}}}$- derivát dojíždí s kontrakcí, uspokojuje produktové pravidlo pro jakoukoli sbírku indexů

${ displaystyle { dot { nabla}} (S _ { alpha} ^ {i} T_ {j} ^ { beta}) = T_ {j} ^ { beta} { dot { nabla}} S_ { alpha} ^ {i} + S _ { alpha} ^ {i} { dot { nabla}} T_ {j} ^ { beta}}$

a poslouchá a řetězové pravidlo pro povrch omezení prostorových tenzorů:

${ displaystyle { dot { nabla}} F_ {k} ^ {j} (Z, t) = { frac { částečné F_ {k} ^ {j}} { částečné t}} + CN ^ { i} nabla _ {i} F_ {k} ^ {j}}$

Řetězové pravidlo ukazuje, že ${ displaystyle { dot { nabla}}}$- deriváty prostorových „metrik“ zmizí

${ displaystyle { dot { nabla}} delta _ {j} ^ {i} = 0, { dot { nabla}} Z_ {ij} = 0, { dot { nabla}} Z ^ { ij} = 0, { dot { nabla}} varepsilon _ {ijk} = 0, { dot { nabla}} varepsilon ^ {ijk} = 0}$

kde ${ displaystyle Z_ {ij}}$ a ${ displaystyle Z ^ {ij}}$ jsou kovariantní a kontrariantní metrické tenzory, ${ displaystyle delta _ {j} ^ {i}}$ je Kroneckerova delta symbol a ${ displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ a ${ displaystyle varepsilon ^ {ijk}}$ jsou Symboly Levi-Civita. The Hlavní článek na symbolech Levi-Civita je popisuje pro Kartézské souřadnicové systémy. Předchozí pravidlo platí v obecných souřadnicích, kde definice symbolů Levi-Civita musí obsahovat druhou odmocninu určující kovariančního metrického tenzoru ${ displaystyle Z_ {ij}}$.

Diferenciační tabulka pro ${ displaystyle { dot { nabla}}}$-derivát

The ${ displaystyle { dot { nabla}}}$ derivace klíčových povrchových objektů vede k vysoce stručným a atraktivním vzorcům. Při aplikaci na kovariantní povrch metrický tenzor ${ displaystyle S _ { alpha beta}}$ a kontrariantní metrický tenzor ${ displaystyle S ^ { alpha beta}}$, výsledkem jsou následující identity

${ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} S _ { alpha beta} & = 0 [8pt] { dot { nabla}} S ^ { alpha beta} & = 0 end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle B _ { alpha beta}}$ a ${ displaystyle B ^ { alpha beta}}$ jsou dvojnásobně kovariantní a dvojnásobně kontrariantní tenzory zakřivení. Tyto tenzory zakřivení, stejně jako pro tenzor smíšeného zakřivení ${ displaystyle B _ { beta} ^ { alpha}}$, uspokojit

${ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} B _ { alpha beta} & = nabla _ { alpha} nabla _ { beta} C + CB _ { alpha gamma} B_ { beta} ^ { gamma} [8pt] { dot { nabla}} B _ { beta} ^ { alpha} & = nabla _ { beta} nabla ^ { alpha} C + CB _ { gamma} ^ { alpha} B _ { beta} ^ { gamma} [8pt] { dot { nabla}} B ^ { alpha beta} & = nabla ^ { alpha} nabla ^ { beta} C + CB ^ { gamma alpha} B _ { gamma} ^ { beta} end {zarovnáno}}}$

Tenzor posunu ${ displaystyle Z _ { alpha} ^ {i}}$ a normální${ displaystyle N ^ {i}}$ uspokojit

${ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} Z _ { alpha} ^ {i} & = N ^ {i} nabla _ { alpha} C [8pt] { dot { nabla}} N ^ {i} & = - Z _ { alpha} ^ {i} nabla ^ { alpha} C end {zarovnáno}}}$

Nakonec povrch Symboly Levi-Civita ${ displaystyle varepsilon _ { alpha beta}}$ a ${ displaystyle varepsilon ^ { alpha beta}}$ uspokojit

${ displaystyle { begin {aligned} { dot { nabla}} varepsilon _ { alpha beta} & = 0 [8pt] { dot { nabla}} varepsilon ^ { alpha beta } & = 0 end {zarovnáno}}}$

Časová diferenciace integrálů

CMS poskytuje pravidla pro časová diferenciace objemových a povrchových integrálů.

Reference