Kategorie Burnside - Burnside category
v teorie kategorií a teorie homotopy the Kategorie Burnside a konečná skupina G je kategorie, jejíž objekty jsou konečné G-sady a jejichž morfismy jsou (třídy ekvivalence) rozpětí z G- ekvivariantní mapy. Jedná se o kategorizaci Burnsideův prsten z G.
Definice
Nechat G být konečná skupina (ve skutečnosti bude vše fungovat doslovně pro a profinitní skupina ). Pak pro jakékoli dvě konečné G-sady X a Y můžeme definovat vztah ekvivalence mezi rozpětími G-sady formuláře kde dvě rozpětí a jsou rovnocenné, pokud a pouze pokud existuje G- ekvivariantní bijekce U a Ž dojíždění s projekčními mapami do X a Y. Tato sada tříd ekvivalence přirozeně tvoří monoid pod disjunktním spojením; označujeme pomocí the skupinové dokončení toho monoida. Přijetí zpětných hlášení vyvolá přirozené mapy .
Nakonec můžeme definovat Kategorie Burnside A (G) z G jako kategorie, jejíž objekty jsou konečné G- množiny a mezerové prostory jsou skupiny .
Vlastnosti
- A (G) je kategorie přísad s přímými součty danými disjunktním spojením G-sety a nulový objekt daný prázdným G-soubor;
- Produkt dvou G-sets indukuje symetrickou monoidní strukturu na A (G);
- Endomorfismus prsten bodu (to je G-set pouze s jedním prvkem) je Burnsideův prsten z G;
- A (G) odpovídá celé podkategorii kategorie homotopy originálu G- spektra překlenutá závěsnými spektry konečných G-sady.
Mackeyovy funktory
Li C je kategorie přísad, pak C-hodnota Mackeyův funktor je doplňkový funktor z A (G) na C. Mackeyovy funktory jsou důležité v teorii reprezentace a teorii stabilní ekvivariační homotopy.
- Každému G-zastoupení PROTI můžeme přiřadit Mackeyův funktor do vektorových prostorů, které posílají každou konečnou G-soubor U do vektorového prostoru G- ekvivariantní mapy z U na PROTI.
- Homotopické skupiny a originální G-spektrum tvoří Mackeyův funktor. Ve skutečnosti originální G-spectra může být viděn jako aditivní funktor na příslušně vyšší kategorické verzi kategorie Burnside.