Místní omezenost - Local boundedness

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Místní omezenost“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopad 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a funkce je místně ohraničený Pokud to je ohraničený kolem každého bodu. A rodina funkcí je místně ohraničený pokud pro nějaký bod v jejich doména všechny funkce jsou ohraničeny kolem tohoto bodu a stejným číslem.

Místně ohraničená funkce

A skutečný nebo komplexní funkce F na některých definováno topologický prostor X je nazýván místně ohraničený pokud pro nějaké X₀ v X existuje a sousedství A z X₀ takhle F(A) je ohraničená množina. To znamená pro nějaké číslo M > 0 má

${ displaystyle | f (x) | leq M}$

pro všechny X v A.

Jinými slovy, pro každého X jeden může najít konstantu, v závislosti na X, což je větší než všechny hodnoty funkce v sousedství X. Porovnejte to s a omezená funkce, pro které konstanta nezávisí X. Je zřejmé, že pokud je funkce ohraničená, je ohraničena místně. Konverzace není obecně platná (viz níže).

Tuto definici lze rozšířit na případ, kdy F v některých bere hodnoty metrický prostor. Pak je třeba výše uvedenou nerovnost nahradit

${ Displaystyle d left (f (x), a right) leq M}$

pro všechny X v A, kde d je funkce vzdálenosti v metrickém prostoru a A je nějaký bod v metrickém prostoru. Volba A nemá vliv na definici; výběr jiného A maximálně zvýší konstantu M pro které tato nerovnost platí.

Příklady

• Funkce F: R → R definován

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} +1}}}$

je omezená, protože 0 ≤ F(X) ≤ 1 pro všechny X. Proto je také místně ohraničený.

• Funkce F: R → R definován

${ displaystyle f (x) = 2x + 3}$

je ne ohraničený, protože se stává libovolně velkým. Nicméně, to je místně ohraničený, protože pro každého A, |F(X)| ≤ M v sousedství (A − 1, A + 1), kde M = 2|A| + 5.

• Funkce F: R → R definován

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {x}}, & { mbox {if}} x neq 0, 0, & { mbox {if}} x = 0 end {cases}}}$

není ani omezený ani místně ohraničený. V libovolném sousedství 0 tato funkce nabývá hodnot libovolně velké velikosti.

• Jakákoli spojitá funkce je místně ohraničená. Zde je důkaz funkcí skutečné proměnné. Nechat F: U → R být spojitý kde U ⊆ R, a my to ukážeme F je místně ohraničen na A pro všechny A v U. Vezmeme-li v definici spojitosti ε = 1, existuje δ> 0 takové, že |F(X) − F(A) | <1 pro všechny X v U s |X − A| <5. Nyní u nerovnost trojúhelníku, |F(X)| = |F(X) − F(A) + F(A)| ≤ |F(X) − F(A)| + |F(A)| < 1 + |F(A) |, což znamená, že F je místně ohraničen na A (brát M = 1 + |F(A) | a okolí (A - δ, A + δ)). Tento argument lze snadno zobecnit na doménu F je jakýkoli topologický prostor.

• Opak výše uvedeného výsledku však není pravdivý, tj. Diskontinuální funkce může být lokálně ohraničená. Zvažte například funkci F: R → R dána F(0) = 1 a F(X) = 0 pro všechny X ≠ 0. Potom F je diskontinuální v 0, ale F je místně ohraničený; je lokálně konstantní kromě nuly, kde můžeme vzít M = 1 a sousedství (−1, 1), například.

Místně ohraničená rodina

A soubor (také nazývaný a rodina ) U reálných nebo komplexních funkcí definovaných v nějakém topologickém prostoru X je nazýván místně ohraničený pokud pro nějaké X₀ v X existuje a sousedství A z X₀ a kladné číslo M takhle

${ displaystyle | f (x) | leq M}$

pro všechny X v A a F v U. Jinými slovy, všechny funkce v rodině musí být místně ohraničené a kolem každého bodu musí být ohraničeny stejnou konstantou.

Tuto definici lze také rozšířit na případ, kdy jsou funkce v rodině U vezměte hodnoty v nějakém metrickém prostoru opětovným nahrazením absolutní hodnoty funkcí vzdálenosti.

Příklady

• Rodina funkcí F_n: R → R

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {x} {n}}}$

kde n = 1, 2, ... je místně ohraničený. Opravdu, pokud X₀ je skutečné číslo, lze si vybrat sousedství A být interval (X₀ − 1, X₀ + 1). Pak pro všechny X v tomto intervalu a pro všechny n ≥ 1 má

${ displaystyle | f_ {n} (x) | leq M}$

s M = |X₀| + 1. Navíc je to rodina jednotně ohraničený, protože ani sousedství A ani konstanta M závisí na indexu n.

• Rodina funkcí F_n: R → R

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {1} {x ^ {2} + n ^ {2}}}}$

je místně ohraničený, pokud n je větší než nula. Pro všechny X₀ jeden si může vybrat sousedství A být R sám. Pak máme

${ displaystyle | f_ {n} (x) | leq M}$

s M = 1. Všimněte si, že hodnota M nezávisí na volbě x₀ nebo jeho okolí A. Tato rodina pak není jen místně ohraničená, je také rovnoměrně ohraničena.

• Rodina funkcí F_n: R → R

${ displaystyle f_ {n} (x) = x + n}$

je ne místně ohraničený. Ve skutečnosti pro všechny X₀ hodnoty F_n(X₀) nelze ohraničit jako n inklinuje k nekonečnu.

Topologické vektorové prostory

Místní omezenost může také odkazovat na vlastnost topologické vektorové prostory, nebo funkcí z topologického prostoru do topologického vektorového prostoru.

Lokálně ohraničené topologické vektorové prostory

Nechat X být topologickým vektorovým prostorem. Pak podmnožina B ⊂ X je ohraničený pokud pro každou čtvrť U 0 palců X existuje skalární s > 0 takových

B ⊂ tU pro všechny t > s.

Říká se, že topologický vektorový prostor je místně ohraničený -li X připouští ohraničené sousedství 0.

Místně ohraničené funkce

Nechat X být topologickým prostorem, Y topologický vektorový prostor a F : X → Y funkce. Pak F je místně ohraničený pokud každý bod X má sousedství jehož obraz pod F je omezený.

Následující věta se týká lokální ohraničenosti funkcí s lokální ohraničeností topologických vektorových prostorů:

Teorém. Topologický vektorový prostor X je místně ohraničený právě tehdy, když mapa identity id_X: X → X je místně ohraničený.

externí odkazy

• PlanetMath vstup pro Locally Bounded
• Položka nLab pro kategorii s místním ohraničením