Nerovnost Bogomolov – Miyaoka – Yau - Bogomolov–Miyaoka–Yau inequality

V matematice je Nerovnost Bogomolov – Miyaoka – Yau je nerovnost

${displaystyle c_ {1} ^ {2} leq 3c_ {2}}$

mezi Chern čísla z kompaktní složité povrchy z obecný typ. Jeho hlavním zájmem je způsob, jakým omezuje možné topologické typy podkladového skutečného 4-potrubí. Nezávisle to prokázal Shing-Tung Yau  (1977, 1978 ) a Yoichi Miyaoka  (1977 ), poté, co Antonius Van de Ven (1966 ) a Fedor Bogomolov  (1978 ) se ukázal jako slabší verze s konstantou 3 nahrazenou 8 a 4.

Armand Borel a Friedrich Hirzebruch ukázal, že nerovnost je nejlepší možné najít nekonečně mnoho případů, kdy rovnost platí. Nerovnost je v pozitivní charakteristice falešná: William E. Lang (1983 ) a Robert W. Easton (2008 ) uvedl charakteristické povrchy p, jako zobecněné Raynaudovy povrchy, pro které selže.

Formulace nerovnosti

Konvenční formulace nerovnosti Bogomolov – Miyaoka – Yau je následující. Nechat X být kompaktní komplexní povrch obecný typ a nechte C₁ = C₁(X) a C₂ = C₂(X) být první a druhý Třída Chern komplexního tečného svazku povrchu. Pak

${displaystyle c_ {1} ^ {2} leq 3c_ {2}.}$

Pokud tedy platí rovnost X je podíl míče. Druhé tvrzení je důsledkem Yauova diferenciálního geometrického přístupu, který je založen na jeho řešení Calabi domněnka.

Od té doby ${displaystyle c_ {2} (X) = e (X)}$ je topologická Eulerova charakteristika a podle Thom – Hirzebruchova věta o podpisu ${displaystyle c_ {1} ^ {2} (X) = 2e (X) + 3sigma (X)}$ kde ${displaystyle sigma (X)}$ je podpis křižovatka na druhé kohomologii lze nerovnost Bogomolov – Miyaoka – Yau zapsat také jako omezení topologického typu povrchu obecného typu:

${displaystyle sigma (X) leq {frac {1} {3}} e (X),}$

navíc pokud ${displaystyle sigma (X) = (1/3) e (X)}$ pak je univerzálním potahem koule.

Spolu s Noether nerovnost nerovnost Bogomolov – Miyaoka – Yau stanoví hranice při hledání složitých povrchů. Mapování topologických typů, které jsou realizovány jako složité povrchy, se nazývá geografie povrchů. vidět povrchy obecného typu.

Povrchy s C₁² = 3C₂

Li X je povrch obecného typu s ${displaystyle c_ {1} ^ {2} = 3c_ {2}}$, takže rovnost tedy platí v nerovnosti Bogomolov – Miyaoka – Yau Yau (1977) dokázal to X je izomorfní s kvocientem jednotkové koule v ${displaystyle {mathbb {C}} ^ {2}}$ nekonečnou diskrétní skupinou. Příklady povrchů vyhovujících této rovnosti je těžké najít. Borel (1963) ukázal, že existuje nekonečně mnoho hodnot C²
₁ = 3C₂ pro které existuje povrch. David Mumford  (1979 ) najít falešná projektivní rovina s C²
₁ = 3C₂ = 9, což je minimální možná hodnota, protože C²
₁ + C₂ je vždy dělitelné 12 a Prasad & Yeung (2007), Prasad & Yeung (2010), Donald I. Cartwright a Tim Steger (2010 ) ukázal, že existuje přesně 50 falešných projektivních letadel.

Barthel, Hirzebruch & Höfer (1987) poskytl metodu pro hledání příkladů, která zejména vytvořila povrch X s C²
₁ = 3C₂ = 3²5⁴. Ishida (1988) našel podíl tohoto povrchu s C²
₁ = 3C₂ = 45 a převzetí nerozvětvených obálek tohoto kvocientu uvádí příklady s C²
₁ = 3C₂ = 45k pro jakékoli kladné celé číslo kDonald I. Cartwright a Tim Steger (2010 ) našel příklady s C²
₁ = 3C₂ = 9n pro každé kladné celé číslo n.

Reference

• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN  978-3-540-00832-3, PAN  2030225
• Barthel, Gottfried; Hirzebruch, Friedrich; Höfer, Thomas (1987), Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen, Aspects of Mathematics, D4, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN  978-3-528-08907-8, PAN  0912097
• Bogomolov, Fedor A. (1978), „Holomorfní tenzory a vektorové svazky na projektivních potrubích“, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 42 (6): 1227–1287, ISSN  0373-2436, PAN  0522939
• Borel, Armand (1963), „Compact Clifford-Klein formy symetrických prostorů“, Topologie. Mezinárodní žurnál matematiky, 2 (1–2): 111–122, doi:10.1016/0040-9383(63)90026-0, ISSN  0040-9383, PAN  0146301
• Cartwright, Donald I .; Steger, Tim (2010), „Výčet 50 falešných projektivních rovin“, Comptes Rendus Mathématique, Elsevier Masson SAS, 348 (1): 11–13, doi:10.1016 / j.crma.2009.11.016
• Easton, Robert W. (2008), „Povrchy porušující Bogomolov-Miyaoka-Yau v pozitivní charakteristice“, Proceedings of the American Mathematical Society, 136 (7): 2271–2278, arXiv:matematika / 0511455, doi:10.1090 / S0002-9939-08-09466-5, ISSN  0002-9939, PAN  2390492
• Ishida, Masa-Nori (1988), „Eliptický povrch pokrytý Mumfordovou falešnou projektivní rovinou“, Matematický deník Tohoku, Druhá série, 40 (3): 367–396, doi:10,2748 / tmj / 1178227980, ISSN  0040-8735, PAN  0957050
• Lang, William E. (1983), „Příklady povrchů obecného typu s vektorovými poli“, Aritmetika a geometrie, sv. II, Progr. Matematika., 36, Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 167–173, PAN  0717611
• Miyaoka, Yoichi (1977), "On the Chern numbers of povrchy obecného typu", Inventiones Mathematicae, 42 (1): 225–237, Bibcode:1977InMat..42..225M, doi:10.1007 / BF01389789, ISSN  0020-9910, PAN  0460343
• Mumford, David (1979), „Algebraický povrch s dostatečným K, (K.²) = 9, s_G= q = 0 ", American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 101 (1): 233–244, doi:10.2307/2373947, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373947, PAN  0527834
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2007), „Falešné projektivní roviny“, Inventiones Mathematicae, 168 (2): 321–370, arXiv:matematika / 0512115, Bibcode:2007InMat.168..321P, doi:10.1007 / s00222-007-0034-5, PAN  2289867
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2010), „Dodatek k“ Falešné projektivní roviny"", Inventiones Mathematicae, 182 (1): 213–227, arXiv:0906.4932, Bibcode:2010InMat.182..213P, doi:10.1007 / s00222-010-0259-6, PAN  2672284
• Van de Ven, Antonius (1966), "Na počtech Chern určitých složitých a téměř složitých potrubí", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, Národní akademie věd, 55 (6): 1624–1627, Bibcode:1966PNAS ... 55.1624V, doi:10.1073 / pnas.55.6.1624, ISSN  0027-8424, JSTOR  57245, PAN  0198496, PMC  224368, PMID  16578639
• Yau, Shing Tung (1977), „Calabiho domněnka a některé nové výsledky v algebraické geometrii“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, Národní akademie věd, 74 (5): 1798–1799, Bibcode:1977PNAS ... 74.1798Y, doi:10.1073 / pnas.74.5.1798, ISSN  0027-8424, JSTOR  67110, PAN  0451180, PMC  431004, PMID  16592394
• Yau, Shing Tung (1978), „Na Ricciho zakřivení kompaktního Kählerova potrubí a komplexní Monge-Ampereovy rovnice. I“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 31 (3): 339–411, doi:10,1002 / cpa. 3160310304, ISSN  0010-3640, PAN  0480350