Falešná projektivní rovina - Fake projective plane

V matematice, a falešná projektivní rovina (nebo Mumfordův povrch) je jedním z 50 komplexů algebraické povrchy které mají stejné Betti čísla jako projektivní rovina, ale nejsou izomorfní k tomu. Takové objekty jsou vždy algebraické povrchy obecného typu.

Dějiny

Severi se zeptal, jestli existuje složitý povrch homeomorfní k projektivní rovině, ale ne biholomorfní. Yau (1977) ukázal, že takový povrch neexistuje, takže nejbližší aproximace k projektivní rovině, kterou můžeme mít, by byla plocha se stejnými čísly Betti (b₀,b₁,b₂,b₃,b₄) = (1,0,1,0,1) jako projektivní rovina. První příklad našel Mumford (1979) použitím p-adická uniformizace nezávisle představili Kurihara a Mustafin. Mumford také poznamenal, že Yauův výsledek spolu s Weilovou teorémem o tuhosti diskrétních podskupin PU (1,2) naznačuje, že existuje pouze konečný počet falešných projektivních rovin. Ishida & Kato (1998) našel další dva příklady, používající podobné metody, a Keum (2006) našel příklad s automorfismem řádu 7, který je birační vůči cyklickému pokrytí stupně 7 a Dolgachevův povrch. Prasad & Yeung (2007), Prasad & Yeung (2010) našel systematický způsob klasifikace všech falešných projektivních rovin tím, že ukázal, že existuje dvacet osm tříd, z nichž každá obsahuje alespoň ukázkovou projektivní rovinu až do izometrie a že může existovat maximálně dalších pět tříd, které byly později ukázány neexistovat. Problém se seznamem všech falešných projektivních rovin se redukuje na výpis všech podskupin příslušného indexu explicitně dané mřížky spojené s každou třídou. Rozšířením těchto výpočtů Cartwright & Steger (2010) ukázaly, že osmadvacet tříd vyčerpává všechny možnosti pro falešné projektivní roviny a že existuje celkem 50 příkladů určených až do izometrie, nebo 100 falešných projektivních letadel až do biholomorfismu.

Povrch obecného typu se stejnými čísly Betti jako minimální povrch, který není obecného typu, musí mít čísla Betti buď projektivní roviny P² nebo quadric P¹×P¹. Shavel (1978) zkonstruoval nějaké „falešné kvadriky“: povrchy obecného typu se stejnými čísly Betti jako kvadriky. Beauville povrchy uveďte další příklady.

Nazývají se dimenzionální analogy falešných projektivních ploch falešné projektivní prostory.

Základní skupina

V důsledku práce Aubina a Yaua na řešení Calabiho domněnky v případě záporného Ricciho zakřivení viz Yau (1977, 1978 ), jakákoli falešná projektivní rovina je kvocient komplexní jednotkové koule ve 2 rozměrech o a diskrétní podskupina, který je základní skupina falešné projektivní roviny. Tato základní skupina proto musí být a bez kroucení a cocompact diskrétní podskupina PU (2,1) z Euler-Poincaré charakteristika 3. Klingler (2003) a Yeung (2004) ukázal, že tato základní skupina musí být také aritmetická skupina. Výsledek silné tuhosti společnosti Mostow naznačují, že základní skupina určuje falešnou rovinu, v silném smyslu, že jakýkoli kompaktní povrch se stejnou základní skupinou musí být vůči ní izometrický.

Dvě falešné projektivní roviny jsou definovány jako stejné třída pokud jsou jejich základní skupiny obsaženy ve stejné maximální aritmetické podskupině automorfismů jednotkové koule. Prasad & Yeung (2007), Prasad & Yeung (2010) použil objemový vzorec pro aritmetické skupiny z (Prasad 1989 ) vyjmenovat 28 neprázdných tříd falešných projektivních letadel a ukázat, že může existovat maximálně pět dalších tříd, u nichž se neočekává, že budou existovat. (Viz dodatek příspěvku, kde byla klasifikace upřesněna a byly opraveny některé chyby v původním příspěvku.) Cartwright & Steger (2010) ověřil, že pět tříd navíc skutečně neexistovalo, a uvedl seznam všech možností ve dvaceti osmi třídách. Existuje přesně 50 falešných projektivních letadel klasifikovaných až do izometrie, a tedy 100 různých falešných projektivních letadel klasifikovaných až do biholomorfismu.

Základní skupinou falešné projektivní roviny je aritmetická podskupina PU (2,1). Psát si k pro přidružené pole čísla (zcela skutečné pole) a G pro přidružené k-forma PU (2,1). Li l je kvadratické rozšíření k přes který G je tedy vnitřní forma l je naprosto imaginární pole. Existuje divizní algebra D se středem l a stupeň nad l 3 nebo 1, s involucí druhého druhu, která se omezuje na netriviální automorfismus l přes ka netriviální Poustevnická forma na modulu D dimenze 1 nebo 3 takové, že G je speciální jednotná skupina této hermitovské formy. (Jako důsledek Prasad & Yeung (2007) a dílo Cartwrighta a Stegera, D má ukončený stupeň 3 l a modul má rozměr 1 přes D.) Existuje jedno skutečné místo k takové, že body G vytvoří kopii PU (2,1) a na všech ostatních skutečných místech k tvoří kompaktní skupinu PU (3).

Z výsledku Prasad & Yeung (2007), skupina automorfismu falešné projektivní roviny je buď cyklická řádu 1, 3 nebo 7, nebo necyklická skupina řádu 9 nebo neabelovská skupina řádu 21. Kvocienty falešných projektivních rovin těmito skupiny byly studovány uživatelem Keum (2008) a také Cartwright & Steger (2010).

Seznam 50 falešných projektivních letadel

• k je naprosto skutečné pole.
• l je naprosto imaginární kvadratické rozšíření ka ζ₃ je krychle kořen 1.
• T je sada prvočísel k kde určitá místní podskupina není hyperspeciální.
• index je index základní skupiny v určité aritmetické skupině.

Reference

• Cartwright, Donald I .; Steger, Tim (2010), „Výčet 50 falešných projektivních rovin“, Comptes Rendus Mathématique, 348 (1): 11–13, doi:10.1016 / j.crma.2009.11.016
• Ishida, Masa-Nori; Kato, Fumiharu (1998), „Věta o silné rigiditě pro non-Archimédovu uniformizaci“, Matematický deník Tohoku, Druhá série, 50 (4): 537–555, doi:10,2748 / tmj / 1178224897, PAN  1653430
• Keum, JongHae (2006), „Falešné projektivní letadlo s automatorfismem řádu 7“, Topologie. Mezinárodní žurnál matematiky, 45 (5): 919–927, arXiv:matematika / 0505339, doi:10.1016 / j.top.2006.06.006, PAN  2239523
• Keum, JongHae (2008), „Kvocienty falešných projektivních rovin“, Geometrie a topologie, 12 (4): 2497–2515, arXiv:0802.3435, doi:10.2140 / gt.2008.12.2497, PAN  2443971
• Klingler, Bruno (2003), „Sur la rigidité de certains groupes fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complexes, et les faux plans projectifs“, Inventiones Mathematicae, 153 (1): 105–143, Bibcode:2003InMat.153..105K, doi:10.1007 / s00222-002-0283-2, PAN  1990668
• Kulikov, Vik. S .; Kharlamov, V. M. (2002), "O skutečných strukturách na tuhých površích", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Izvestiya. Seriya Matematicheskaya, 66 (1): 133–152, arXiv:matematika / 0101098, Bibcode:2002IzMat..66..133K, doi:10.1070 / IM2002v066n01ABEH000374, PAN  1917540
• Mumford, David (1979), „Algebraický povrch s dostatečným K, (K.²) = 9, s_G= q = 0 ", American Journal of Mathematics, 101 (1): 233–244, doi:10.2307/2373947, JSTOR  2373947, PAN  0527834
• Prasad, Gopal (1989), "Objemy S-aritmetických kvocientů semi-jednoduchých skupin", Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 69 (69): 91–117, doi:10.1007 / BF02698841, PAN  1019962
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2007), „Falešné projektivní roviny“, Inventiones Mathematicae, 168 (2): 321–370, arXiv:matematika / 0512115, Bibcode:2007InMat.168..321P, doi:10.1007 / s00222-007-0034-5, PAN  2289867
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2010), „Dodatek k“ Falešné projektivní roviny"", Inventiones Mathematicae, 182 (1): 213–227, arXiv:0906.4932, Bibcode:2010InMat.182..213P, doi:10.1007 / s00222-010-0259-6, PAN  2672284
• Remy, R. (2007), Covolume des groupes S-arith meiques et faux plans projectifs, (d'apres Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) (PDF), Séminaire Bourbaki, 984, archivovány z originál (PDF) dne 09.06.2011, vyvoláno 2009-05-08
• Shavel, Ira H. (1978), „Třída algebraických povrchů obecného typu vytvořená z kvaternionových algeber“, Pacific Journal of Mathematics, 76 (1): 221–245, doi:10.2140 / pjm.1978.76.221, PAN  0572981
• Yau, Shing Tung (1977), „Calabiho domněnka a některé nové výsledky v algebraické geometrii“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 74 (5): 1798–1799, Bibcode:1977PNAS ... 74.1798Y, doi:10.1073 / pnas.74.5.1798, JSTOR  67110, PAN  0451180, PMC  431004, PMID  16592394
• Yau, Shing Tung (1978), „Na Ricciho zakřivení kompaktního Kählerova potrubí a komplexní Monge-Ampereovy rovnice. I“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 31 (3): 339–411, doi:10,1002 / cpa. 3160310304, PAN  0480350
• Yeung, Sai-Kee (2004), "Integrita a aritmetičnost ko-kompaktní mřížky odpovídající určitým komplexním dvou-kuličkovým kvocientům Picardova čísla jedna", Asijský žurnál matematiky, 8 (1): 107–129, doi:10.4310 / ajm.2004.v8.n1.a9, PAN  2128300
• Yeung, Sai-Kee (2010), "Klasifikace falešných projektivních letadel", Příručka geometrické analýzy, č. 2Adv. Přednáška Matematika. (ALM), 13, Int. Press, Somerville, MA, str. 391–431, PAN  2761486

externí odkazy

• Prasad, Gopal, Falešné projektivní prostory