Lepší kvazi objednávání - Better-quasi-ordering

v teorie objednávek A lepší kvazi objednávání nebo bqo je kvazi objednávání to nepřipouští určitý typ špatného pole. Každé lepší kvazi-objednávání je dobře kvazi-objednávání.

Motivace

Ačkoli dobře kvazi-objednávání je přitažlivá představa, mnoho důležitých operací na nekonečném místě nezachovává dobře kvazi uspořádanost. Příklad kvůli Richard Rado to ilustruje.^[1] V dokumentu z roku 1965 Crispin Nash-Williams formuloval silnější představu o lepší kvazi objednávání za účelem prokázání, že třída stromy výšky ω je dobře kvazi objednaný pod topologická vedlejší vztah.^[2] Od té doby mnoho kvazi-objednávky bylo prokázáno, že jsou dobře kvazi-objednávky tím, že se ukázalo, že jsou lepší-kvazi-objednávky. Například, Richard Laver stanovena Laverova věta (dříve domněnka Roland Fraïssé ) tím, že prokáže, že třída rozptýlené lineární pořadí typů je lépe kvazi objednaný.^[3] V poslední době Carlos Martinez-Ranero prokázal, že v rámci správné vynucení axiomu, třída Aronszajn linky je lépe kvazi objednaný v rámci vztahu embeddability.^[4]

Definice

V teorii s lepším kvazidím je běžné psát ${ displaystyle {_ {*}} x}$ pro sekvenci ${ displaystyle x}$ s vynecháním prvního termínu. Psát si ${ displaystyle [ omega] ^ {< omega}}$ pro množinu konečných, přísně rostoucích sekvence s termíny v ${ displaystyle omega}$a definovat vztah ${ displaystyle triangleleft}$ na ${ displaystyle [ omega] ^ {< omega}}$ jak následuje: ${ displaystyle s triangleleft t}$ Pokud existuje ${ displaystyle u in [ omega] ^ {< omega}}$ takhle ${ displaystyle s}$ je přísný počáteční segment ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle t = {} _ {*} u}$. Vztah ${ displaystyle triangleleft}$ není tranzitivní.

A blok ${ displaystyle B}$ je nekonečná podmnožina ${ displaystyle [ omega] ^ {< omega}}$ který obsahuje počáteční segment^{[je zapotřebí objasnění ]} každé nekonečné podskupiny ${ displaystyle bigcup B}$. Pro kvazi-objednávku ${ displaystyle Q}$, a ${ displaystyle Q}$-vzor je funkce z nějakého bloku ${ displaystyle B}$ do ${ displaystyle Q}$. A ${ displaystyle Q}$-vzor ${ displaystyle f dvojtečka B až Q}$ se říká, že je špatný -li ${ displaystyle f (s) ne leq _ {Q} f (t)}$^{[je zapotřebí objasnění ]} pro každý pár ${ displaystyle s, t v B}$ takhle ${ displaystyle s triangleleft t}$; v opačném případě ${ displaystyle f}$ je dobrý. Kvazi objednávka ${ displaystyle Q}$ se nazývá a lepší kvazi objednávání pokud není špatné ${ displaystyle Q}$-vzor.

Aby se s touto definicí snáze pracovalo, definuje Nash-Williams a bariéra být blok, jehož prvky jsou párové nesrovnatelný podle inkluzivního vztahu ${ displaystyle podmnožina}$. A ${ displaystyle Q}$- pole je ${ displaystyle Q}$-vzor, ​​jehož doména je bariérou. Pozorováním toho, že každý blok obsahuje bariéru, to člověk vidí ${ displaystyle Q}$ je lepší kvazi-objednávka právě tehdy, pokud není špatná ${ displaystyle Q}$- pole.

Simpsonova alternativní definice

Simpson představil alternativní definici lepší kvazi objednávání ve smyslu Funkce Borel ${ displaystyle [ omega] ^ { omega} na Q}$, kde ${ displaystyle [ omega] ^ { omega}}$, sada nekonečných podmnožin ${ displaystyle omega}$, je uveden obvyklý topologie produktu.^[5]

Nechat ${ displaystyle Q}$ být kvazi objednávající a obdařit ${ displaystyle Q}$ s diskrétní topologie. A ${ displaystyle Q}$- pole je funkce Borel ${ displaystyle [A] ^ { omega} do Q}$ pro nějakou nekonečnou podmnožinu ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle omega}$. A ${ displaystyle Q}$- pole ${ displaystyle f}$ je špatný -li ${ displaystyle f (X) ne leq _ {Q} f ({_ {*}} X)}$ pro každého ${ displaystyle X v [A] ^ { omega}}$;${ displaystyle f}$ je dobrý v opačném případě. Kvazi-objednávání ${ displaystyle Q}$ je lepší kvazi objednávání pokud není špatné ${ displaystyle Q}$- pole v tomto smyslu.

Hlavní věty

Mnoho hlavních výsledků v teorii lepšího kvaziojednání je důsledkem minimálního zlého pole Lemma, které se objevuje v Simpsonově článku^[5] jak následuje. Viz také Laverův papír,^[6] kde byla jako výsledek jako první uvedena Lemma Minimal Bad Array. Tato technika byla přítomna v původním dokumentu Nash-Williamse z roku 1965.

Předpokládat ${ displaystyle (Q, leq _ {Q})}$ je kvazi-objednávka.^{[je zapotřebí objasnění ]} A částečné hodnocení ${ displaystyle leq '}$ z ${ displaystyle Q}$ je opodstatněný částečné objednání z ${ displaystyle Q}$ takhle ${ Displaystyle q leq 'r až q leq _ {Q} r}$. Za špatné ${ displaystyle Q}$- pole (ve smyslu Simpsona) ${ displaystyle f colon [A] ^ { omega} do Q}$ a ${ displaystyle g colon [B] ^ { omega} do Q}$, definovat:

${ displaystyle g leq ^ {*} f { text {if}} B subseteq A { text {a}} g (X) leq 'f (X) { text {pro všechny}} X v [B] ^ { omega}}$

${ displaystyle g <^ {*} f { text {if}} B subseteq A { text {and}} g (X) <'f (X) { text {pro všechny}} X v [ B] ^ { omega}}$

Říkáme špatně ${ displaystyle Q}$- pole ${ displaystyle g}$ je minimální špatné (s ohledem na částečné hodnocení ${ displaystyle leq '}$) pokud není špatné ${ displaystyle Q}$- pole ${ displaystyle f}$ takhle ${ displaystyle f <^ {*} g}$Definice ${ displaystyle leq ^ {*}}$ a ${ displaystyle <'}$ závisí na částečném hodnocení ${ displaystyle leq '}$ z ${ displaystyle Q}$. Vztah ${ displaystyle <^ {*}}$ není striktní částí vztahu ${ displaystyle leq ^ {*}}$.

Teorém (Minimal Bad Array Lemma). Nechat ${ displaystyle Q}$ být kvazi-objednávka vybaven částečným hodnocením a předpokládejme ${ displaystyle f}$ je špatný ${ displaystyle Q}$- pole. Pak je tu minimum špatného ${ displaystyle Q}$- pole ${ displaystyle g}$ takhle ${ displaystyle g leq ^ {*} f}$.

Viz také

• Dobře kvazi-objednávání
• Dobře, pořádek

Reference