Skupina Baumslag – Gersten - Baumslag–Gersten group

V matematickém předmětu teorie geometrických skupin, Skupina Baumslag – Gersten, také známý jako Skupina Baumslag, je zvláštní skupina jednoho relé vykazující některé pozoruhodné vlastnosti týkající se jeho konečnosti kvocientové skupiny, své Dehnova funkce a jeho složitost slovní úloha.

Skupina je dána prezentace

${ displaystyle G = langle a, t mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} rangle = langle a, t mid (t ^ {- 1} a ^ {- 1} t) a (t ^ {- 1} zavináč) = a ^ {2} rangle}$

Zde exponenciální notace pro skupinové prvky označuje konjugaci, tj. ${ displaystyle g ^ {h} = h ^ {- 1} gh}$ pro ${ displaystyle g, h v G}$.

Dějiny

Skupina Baumslag – Gersten G byl původně představen v dokumentu z roku 1969 Gilbert Baumslag,^[1] jako příklad non-zbytkově konečné skupina jednoho relé s další pozoruhodnou vlastností, která je konečná kvocientové skupiny této skupiny jsou cyklické. Později, v roce 1992, Stephen Gersten^[2] to ukázal G, přestože jde o skupinu s jedním relatorem danou poměrně jednoduchou prezentací, má Dehnova funkce roste velmi rychle, jmenovitě rychleji než jakákoli fixní iterace exponenciální funkce. Tento příklad zůstává nejrychleji známým růstem funkce Dehn mezi skupinami s jedním relatorem. V roce 2011 Alexej Myasnikov, Alexander Ushakov a Dong Wook Won^[3] dokázal to G má slovní úloha řešitelný v polynomiálním čase.

Skupina Baumslag-Gersten jako rozšíření HNN

Skupina Baumslag – Gersten G lze také realizovat jako Rozšíření HNN z Skupina Baumslag – Solitar ${ displaystyle BS (1,2) = langle a, b mid a ^ {b} = a ^ {2} rangle}$ se stabilním dopisem t a dvě cyklické přidružené podskupiny${ displaystyle langle a rangle, langle b rangle}$:

${ displaystyle G = langle a, t mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} rangle = langle a, b, t mid a ^ {b} = a ^ {2} , a ^ {t} = b rangle.}$

Vlastnosti skupiny Baumslag – Gersten G

• Každý konečný kvocientová skupina z G je cyklický. Zejména skupina G není zbytkově konečné.^[1]
• Endomorfismus z G je buď automorfismus nebo jeho obraz je cyklická podskupina G. Zejména skupina G je Hopfian a co-Hopfian.^[4]
• The vnější skupina automorfismu Ven(G) z G je izomorfní s aditivní skupinou dyadických racionálů ${ displaystyle mathbb {Z} doleva [{ frac {1} {2}} doprava]}$ a zejména není definitivně generován.^[4]
• Gersten dokázal^[2] že Dehnova funkce F(n) z G roste rychleji než jakákoli fixní iterace exponenciálu. Následně A. N. Platonov^[5] dokázal to f (n) je ekvivalentní k

${ displaystyle exp ^ { circ log n} (1) = ( exp underbrace { circ cdots circ} _ { log n { text {times}}} exp) (1)}$

• Myasnikov, Ushakov a Won,^[3] pomocí kompresních metod aritmetiky `` výkonových obvodů '' dokázal, že slovní úloha v G je řešitelný v polynomiálním čase. Tedy skupina G vykazuje velkou mezeru mezi růstem jeho Dehnovy funkce a složitostí slovní úlohy.
• The problém konjugace v G je známo, že je rozhodnutelný, ale jediný známý nejhorší odhad horní hranice pro složitost problému konjugace, kvůli Janis Beese, je elementární rekurzivní.^[6] Předpokládá se, že tento odhad je ostrý, založený na některých omezeních problémů s rozdělením výkonových obvodů.^[7] Tady je silně genericky polynomiální časové řešení problému konjugace pro G.^[7]

Zobecnění

• Andrew Brunner^[4] považovány za jedno-relatorové skupiny formuláře

${ displaystyle langle a, t mid (a ^ {p}) ^ {(t ^ {- 1} a ^ {k} t)} = a ^ {m} rangle,}$ kde ${ displaystyle p, k, m neq 0}$

a v této souvislosti zobecnil mnoho Baumslagových původních výsledků.

• Mahan Mitra^[8] považován za hyperbolické analogový G skupiny Baumslag – Gersten, kde skupina Mitra vlastní bezplatnou podskupinu třetí úrovně, která je v G, jmenovitě tam, kde je zkreslení podskupiny vyšší než jakákoli pevná iterovaná síla exponenciálu.

Viz také

• Zkreslení podskupiny

Reference

externí odkazy

• Zkreslení konečně prezentovaných podskupin pozitivně zakřivených skupin, blog Bersteinova semináře na jaře 2011 v Cornellu, včetně van Kampenových diagramů demonstrujících zkreslení podskupin ve skupině Baumslag – Gersten a diskuse o příkladech podobných Mitra