Automorfní faktor - Automorphic factor - Wikipedia

v matematika, an automorfní faktor je určitý typ analytická funkce, definováno dne podskupiny z SL (2, R), objevit se v teorii modulární formy. Obecný případ pro obecné skupiny je uveden v článku 'faktor automorphy '.

Definice

An automorfní faktor hmotnosti k je funkce

${ displaystyle nu: Gamma krát mathbb {H} do mathbb {C}}$

splňující čtyři níže uvedené vlastnosti. Tady notace ${ displaystyle mathbb {H}}$ a ${ displaystyle mathbb {C}}$ odkazovat na horní polorovina a složité letadlo, resp. Zápis ${ displaystyle Gamma}$ je podskupina SL (2, R), jako je například a Fuchsijská skupina. Prvek ${ displaystyle gamma v gama}$ je matice 2x2

${ displaystyle gamma = left [{ begin {matrix} a & b c & d end {matrix}} right]}$

s A, b, C, d reálná čísla, uspokojivá inzerát−před naším letopočtem=1.

Automorfický faktor musí splňovat:

1. Pro pevné ${ displaystyle gamma v gama}$, funkce ${ displaystyle nu ( gamma, z)}$ je holomorfní funkce z ${ displaystyle z in mathbb {H}}$.

2. Pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {H}}$ a ${ displaystyle gamma v gama}$, jeden má

${ displaystyle vert nu ( gamma, z) vert = vert cz + d vert ^ {k}}$

pro pevné reálné číslo k.

3. Pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {H}}$ a ${ displaystyle gama, delta v gama}$, jeden má

${ displaystyle nu ( gamma delta, z) = nu ( gamma, delta z) nu ( delta, z)}$

Tady, ${ displaystyle delta z}$ je frakční lineární transformace z ${ displaystyle z}$ podle ${ displaystyle delta}$.

4. Pokud ${ displaystyle -I in Gamma}$, pak pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {H}}$ a ${ displaystyle gamma v gama}$, jeden má

${ displaystyle nu (- gamma, z) = nu ( gamma, z)}$

Tady, Já označuje matice identity.

Vlastnosti

Každý automorfní faktor může být zapsán jako

${ displaystyle nu ( gamma, z) = upsilon ( gamma) (cz + d) ^ {k}}$

s

${ displaystyle vert upsilon ( gamma) vert = 1}$

Funkce ${ displaystyle upsilon: Gamma až S ^ {1}}$ se nazývá a multiplikační systém. Jasně,

${ displaystyle upsilon (I) = 1}$,

zatímco, pokud ${ displaystyle -I in Gamma}$, pak

${ displaystyle upsilon (-I) = e ^ {- i pi k}}$

což se rovná ${ displaystyle (-1) ^ {k}}$ když k je celé číslo.

Reference

• Robert Rankin, Modulární formuláře a funkce, (1977) Cambridge University Press ISBN  0-521-21212-X. (Kapitola 3 je zcela věnována automorfním faktorům pro modulární skupinu.)