Asymptotická homogenizace - Asymptotic homogenization
v matematika a fyzika, homogenizace je metoda studia parciální diferenciální rovnice s rychle oscilujícími koeficienty,[1][2][3] jako
kde je velmi malý parametr a je 1-periodický koeficient:, .
Ukazuje se, že studium těchto rovnic má také velký význam ve fyzice a inženýrství, protože rovnice tohoto typu řídí fyziku nehomogenních nebo heterogenních materiálů. Samozřejmě, že veškerá hmota je v určitém měřítku nehomogenní, ale často je vhodné považovat ji za homogenní. Dobrým příkladem je koncept kontinua, který se používá v mechanika kontinua. Za tohoto předpokladu jsou materiály jako tekutiny, pevné látky atd. lze považovat za homogenní materiály a s těmito materiály jsou spojeny materiálové vlastnosti jako např tažný modul, elastické moduly, atd.
Často nehomogenní materiály (např kompozitní materiály ) vlastnit mikrostruktura a proto jsou vystaveny zatížení nebo tlakům, které se mění v délce, která je mnohem větší než charakteristická délka v mikrostruktuře. V této situaci lze často nahradit výše uvedenou rovnici rovnicí tvaru
kde je konstantní tenzorový koeficient a je znám jako efektivní vlastnost spojená s daným materiálem. Lze jej explicitně vypočítat jako
z 1-periodických funkcí uspokojující:
Tento proces nahrazení rovnice vysoce oscilačním koeficientem rovnicí s homogenním (jednotným) koeficientem je známý jako homogenizace. Tento předmět je neoddělitelně spjat s předmětem mikromechanika právě z tohoto důvodu.
V homogenizaci je jedna rovnice nahrazena jinou, pokud pro dostatečně malé , za předpokladu v nějaké vhodné normě jako .
V důsledku výše uvedeného lze tedy na homogenizaci pohlížet jako na rozšíření konceptu kontinua na materiály, které mají mikrostrukturu. Analog diferenciálního prvku v konceptu kontinua (který obsahuje dostatek atomu nebo molekulární struktury, aby byl reprezentativní pro tento materiál), je známý jako „Reprezentativní objemový prvek "[4] v homogenizaci a mikromechanice. Tento prvek obsahuje dostatek statistických informací o nehomogenním médiu, aby byl reprezentativní pro daný materiál. Proto průměrování nad tímto prvkem dává efektivní vlastnost, jako je výše.
Klasické výsledky teorie homogenizace[1][2][3] byly získány pro média s periodickou mikrostrukturou modelovanou parciálními diferenciálními rovnicemi s periodickými koeficienty. Tyto výsledky byly později zobecněny na prostorově homogenní náhodná média modelovaná diferenciálními rovnicemi s náhodnými koeficienty, jejichž statistické vlastnosti jsou v každém bodě vesmíru stejné.[5][6] V praxi mnoho aplikací vyžaduje obecnější způsob modelování, který není ani periodický, ani statisticky homogenní. Za tímto účelem byly metody teorie homogenizace rozšířeny na parciální diferenciální rovnice, jejichž koeficienty nejsou ani periodické, ani statisticky homogenní (tzv. Libovolně hrubé koeficienty).[7][8]
Metoda asymptotické homogenizace
Matematická teorie homogenizace sahá až do francouzských, ruských a italských škol.[1][2][3][9] Metoda asymptotické homogenizace probíhá zavedením rychlé proměnné a představuje formální expanzi v :
což vytváří hierarchii problémů. Homogenizovaná rovnice je získána a efektivní koeficienty jsou určeny řešením takzvaných „buněčných problémů“ pro funkci .
Viz také
Poznámky
- ^ A b C Sanchez-Palencia, E. (1980). Nehomogenní teorie médií a vibrací. Přednášky z fyziky. 127. Springer Verlag. doi:10.1007/3-540-10000-8. ISBN 978-3-540-10000-3.
- ^ A b C Bakhvalov, N.; Panasenko, G. (1989). Homogenizace: Procesy průměrování v periodických médiích. Matematika a její aplikace. Dordrecht: Kluwer. doi:10.1007/978-94-009-2247-1. ISBN 978-94-010-7506-0.
- ^ A b C Bensoussan, A .; Lions, J.L.; Papanicolaou, G. (1978). Asymptotická analýza pro periodické struktury. Studium matematiky a jejích aplikací. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN 0-444-85172-0.
- ^ Ostoja-Starzewski, M. (2007). Mikrostrukturální náhodnost a škálování v materiálech. Moderní mechanika a matematika. Chapman and Hall / CRC Press. ISBN 9781584884170.
- ^ Kozlov, S.M. (1979). "Homogenizace náhodných operátorů". Rohož. Sbornik. 109 (151): 188–202. (Anglický překlad: Math. SSSR, Sb. 37: 2, 1980, s. 167-180)
- ^ Papanicolaou, G. C .; Varadhan, S.R. (1981). „Problémy s hraničními hodnotami s rychle oscilujícími koeficienty“ (PDF). Seria Colloq. Matematika. Společnost Janos Bolyai. Amsterdam. 27: 835–873.
- ^ Berlyand, L.; Owhadi, H. (listopad 2010). „Norma toku podle přístupu k konečným dimenzionálním homogenizačním aproximacím s neoddělenými stupnicemi a vysokým kontrastem“. Archiv pro racionální mechaniku a analýzu. 198 (2): 677–721. arXiv:0901.1463. Bibcode:2010ArRMA.198..677B. doi:10.1007 / s00205-010-0302-1.
- ^ Målqvist, A .; Peterseim, D. (2014). „Lokalizace eliptických multiscale problémů“. Matematika výpočtu. 83 (290): 2583–2603. doi:10.1090 / S0025-5718-2014-02868-8.
- ^ Dal Maso, G. (1993). Úvod do Γ-konvergence. Pokrok v nelineárních diferenciálních rovnicích a jejich aplikacích. Birkhauser. doi:10.1007/978-1-4612-0327-8. ISBN 9780817636791.
Reference
- Kozlov, S.M .; Oleinik, O.A.; Zhikov, V.V. (1994), Homogenizace diferenciálních operátorů a integrálních funkcionálů, Berlín -Heidelberg -New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-54809-2, Zbl 0838.35001
- Oleinik, O.A.; Shamaev, A.S .; Yosifian, G.A. (1991), Matematické problémy v pružnosti a homogenizaci„Matematika a její aplikace, 26, Amsterdam - Londýn - New York City - Tokio: Severní Holandsko, ISBN 0-444-88441-6, Zbl 0768.73003
- Hornung, Ulrich (ed.). (1997), Homogenizace a porézní média, Interdisciplinární aplikovaná matematika, 6, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1920-0, ISBN 978-1-4612-7339-4
- Bakhvalov, N. S.; Panasenko, G. P. (1984), Průměrování procesů v periodických médiích (anglický překlad: Kluwer, 1989), Moskva: Nauka, Zbl 0607.73009
- Braides, A .; Defranceschi, A. (1998), Homogenizace více integrálů, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-198-50246-3