Asymptotická dimenze - Asymptotic dimension
v metrická geometrie, asymptotická dimenze a metrický prostor je rozsáhlý analog Lebesgue pokrývající rozměr. Pojem asymptotické dimenze byl představen mým Michail Gromov ve své monografii z roku 1993 Asymptotické invarianty nekonečných skupin[1] v kontextu teorie geometrických skupin, jako kvazi-izometrie invariant konečně generovaných skupin. Jak ukazuje Guoliang Yu, konečně generované skupiny typu konečné homotopy s konečnou asymptotickou dimenzí splňují Novikov dohad.[2] Asymptotická dimenze má důležité aplikace v geometrická analýza a teorie indexů.
Formální definice
Nechat být metrický prostor a být celé číslo. Říkáme to pokud pro každého existuje rovnoměrně ohraničený kryt z tak, že každý zavřený - míč dovnitř protíná se maximálně podmnožiny z . Tady „jednotně ohraničené“ to znamená .
Poté definujeme asymptotická dimenze jako nejmenší celé číslo takhle , pokud alespoň jeden takový existuje a definovat v opačném případě.
Jeden také říká, že rodina metrických prostorů vyhovuje jednotně pokud pro každého a každý existuje kryt z maximálně sadami průměrů (nezávislý na ) tak, že každý zavřený - míč dovnitř protíná se maximálně podmnožiny z .
Příklady
- Li je metrický prostor ohraničeného průměru .
- .
- .
- .
Vlastnosti
- Li je podprostor metrického prostoru , pak .
- Pro jakékoli metrické prostory a jeden má .
- Li pak .
- Li je hrubé vložení (např. kvazi-izometrické vložení) .
- Li a jsou hrubě ekvivalentní metrické prostory (např. kvazi-izometrické metrické prostory) .
- Li je skutečný strom pak .
- Nechat být Lipschitzovou mapou z geodetického metrického prostoru do metrického prostoru . Předpokládejme, že pro každého nastavená rodina uspokojuje nerovnost jednotně. Pak Vidět[3]
- Li je metrický prostor s pak připouští hrubé (uniformní) zapuštění do Hilbertova prostoru.[4]
- Li je metrický prostor ohraničené geometrie s pak připouští hrubé zalití do produktu lokálně konečné jednoduché stromy.[5]
Asymptotická dimenze v teorii geometrických grup
Asymptotická dimenze dosáhla zvláštního významu v teorie geometrických skupin po dokumentu z roku 1998 Guoliang Yu[2], který dokázal, že pokud je konečně generovaná skupina konečného typu homotopy (tj. s klasifikačním prostorem typu homotopy konečného komplexu CW) taková, že , pak uspokojuje Novikov dohad. Jak bylo následně ukázáno,[6] konečně generované skupiny s konečnou asymptotickou dimenzí jsou topologicky přístupné, tj. uspokojit Guoliang Yu je Vlastnost A představen v[7] a ekvivalent k přesnosti redukované C * -algebry skupiny.
- Li je hyperbolická skupina slov pak .[8]
- Li je relativně hyperbolický s ohledem na podskupiny každý z nich má konečnou asymptotickou dimenzi .[9]
- .
- Li , kde jsou tedy definitivně generovány .
- Pro Thompsonova skupina F my máme od té doby obsahuje podskupiny izomorfní s pro libovolně velké .
- Li je základní skupina konečných graf skupin s podkladovým grafem a konečně generované skupiny vrcholů[10]
- .
- Mapování skupin tříd orientovatelných povrchů konečného typu mají konečný asymptotický rozměr.[11]
- Nechat být spojen Lež skupina a nechte být konečně vygenerovanou samostatnou podskupinou. Pak .[12]
- Není známo, zda má konečnou asymptotickou dimenzi pro .[13]
Reference
- ^ Gromov, Mikhael (1993). "Asymptotické invarianty nekonečných skupin". Teorie geometrické skupiny. Série přednášek London Mathematical Society. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44680-8.
- ^ A b Yu, G. (1998). "Novikovova domněnka pro skupiny s konečnou asymptotickou dimenzí". Annals of Mathematics. 147 (2): 325–355. doi:10.2307/121011. JSTOR 121011. S2CID 17189763.
- ^ Bell, G.C .; Dranishnikov, A.N. (2006). „Věta Hurewiczova typu pro asymptotickou dimenzi a aplikace v teorii geometrických skupin“. Transakce Americké matematické společnosti. 358 (11): 4749–64. doi:10.1090 / S0002-9947-06-04088-8. PAN 2231870.
- ^ Roe, John (2003). Přednášky o hrubé geometrii. Série univerzitních přednášek. 31. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-3332-2.
- ^ Dranishnikov, Alexander (2003). „O hypersférickosti variet s konečnou asymptotickou dimenzí“. Transakce Americké matematické společnosti. 355 (1): 155–167. doi:10.1090 / S0002-9947-02-03115-X. PAN 1928082.
- ^ Dranishnikov, Alexander (2000). "Asymptotická topologie". Uspekhi Mat. Nauk (v Rusku). 55 (6): 71–16. doi:10,4213 / rm334.
Dranishnikov, Alexander (2000). "Asymptotická topologie". Ruské matematické průzkumy. 55 (6): 1085–1129. arXiv:matematika / 9907192. doi:10.1070 / RM2000v055n06ABEH000334. - ^ Yu, Guoliang (2000). „Hrubá Baum-Connesova domněnka o prostorech, které připouštějí jednotné zanoření do Hilbertovho prostoru“. Inventiones Mathematicae. 139 (1): 201–240. doi:10,1007 / s002229900032.
- ^ Roe, John (2005). „Hyperbolické skupiny mají konečnou asymptotickou dimenzi“. Proceedings of the American Mathematical Society. 133 (9): 2489–90. doi:10.1090 / S0002-9939-05-08138-4. PAN 2146189.
- ^ Osin, Densi (2005). "Asymptotická dimenze relativně hyperbolických skupin". Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu. 2005 (35): 2143–61. arXiv:matematika / 0411585. doi:10.1155 / IMRN.2005.2143.
- ^ Bell, G .; Dranishnikov, A. (2004). "O asymptotické dimenzi skupin působících na stromy". Geometriae Dedicata. 103 (1): 89–101. arXiv:matematika / 0111087. doi:10.1023 / B: GEOM.0000013843.53884.77.
- ^ Bestvina, Mladen; Fujiwara, Koji (2002). Msgstr "Ohraničená kohomologie podskupin skupin tříd mapování". Geometrie a topologie. 6: 69–89. arXiv:math.GT/0012115. doi:10.2140 / gt.2002.6.69.
- ^ Ji, Lizhen (2004). „Asymptotická dimenze a integrální K-teoretická Novikovova domněnka pro aritmetické skupiny“. Journal of Differential Geometry. 68 (3): 535–544. doi:10,4310 / jdg / 1115669594.
- ^ Vogtmann, Karen (2015). „Na geometrii vesmíru“. Bulletin of the American Mathematical Society. 52 (1): 27–46. doi:10.1090 / S0273-0979-2014-01466-1. PAN 3286480. Ch. 9.1
Další čtení
- Bell, Gregory; Dranishnikov, Alexander (2008). "Asymptotická dimenze". Topologie a její aplikace. 155 (12): 1265–96. arXiv:matematika / 0703766. doi:10.1016 / j.topol.2008.02.011.
- Buyalo, Sergei; Schroeder, Viktor (2007). Prvky asymptotické geometrie. EMS monografie z matematiky. Evropská matematická společnost. ISBN 978-3-03719-036-4.