Projekce (teorie míry) - Projection (measure theory)

v teorie míry, projekce mapy se často objevují při práci s produktovými prostory: produkt sigma-algebra z měřitelné prostory je definována jako nejjemnější, takže mapování projekce bude měřitelný. Někdy jsou produktové prostory z nějakého důvodu vybaveny sigma-algebrou odlišnou od the produkt sigma-algebra. V těchto případech nemusí být projekce vůbec měřitelné.

Je volána promítnutá množina měřitelné množiny analytická sada a nemusí to být měřitelná množina. Avšak v některých případech, buď relativně k součinové sigma-algebře, nebo relativně k nějaké jiné sigma-algebře, je projektovaná množina měřitelné množiny skutečně měřitelná.

Henri Lebesgue on sám, jeden ze zakladatelů teorie míry, se v této skutečnosti mýlil. V příspěvku z roku 1905 napsal, že projekce Borela se odehrává v letadlo na skutečná linie je opět sada Borel.^[1] Matematik Michail Jakovlevič Suslin zjistil tuto chybu asi o deset let později a jeho následující výzkum vedl k deskriptivní teorie množin.^[2] Základní chybou Lebesguea bylo myslet si, že projekce dojíždí s klesajícím průsečíkem, přičemž k tomu existují jednoduché protiklady.^[3]

Základní příklady

Jako příklad pro neměřitelnou projekci lze vzít prostor ${ displaystyle X: = vlevo {0,1 vpravo }}$ pomocí sigma-algebry ${ displaystyle { mathcal {F}}: = left { emptyset, left {0 right }, left {1 right }, left {0,1 right } že jo}}$ a prostor ${ displaystyle y: = vlevo {0,1 vpravo }}$ pomocí sigma-algebry ${ displaystyle { mathcal {G}}: = left { emptyset, left {0,1 right } right }}$ . Sada úhlopříček ${ displaystyle left { left (0,0 right), left (1,1 right) right } podmnožina X krát Y}$ není měřitelný relativně k ${ displaystyle { mathcal {F}} další časy { mathcal {G}}}$ , ačkoli obě projekce jsou měřitelné množiny.

Běžný příklad pro neměřitelnou množinu, která je projekcí měřitelné množiny, je v Lebesgueova sigma-algebra. Nechat ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ být Lebesgueova sigma-algebra z ${ displaystyle mathbb {R}}$ a nechte ${ displaystyle { mathcal {L}} '}$ být Lebesgueovou sigma-algebrou ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ . Pro všechny omezené ${ displaystyle N podmnožina mathbb {R}}$ ne v ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ , sada ${ displaystyle N krát doleva {0 doprava }}$ je v ${ displaystyle { mathcal {L}} '}$ , od té doby Lebesgueovo opatření je kompletní a sada produktů je obsažena v sadě nulové míry.

Stále je to vidět ${ displaystyle { mathcal {L}} '}$ není produkt sigma-algebra ${ displaystyle { mathcal {L}} další časy { mathcal {L}}}$ ale jeho dokončení. Stejně jako například v produktu sigma-algebra lze prostor využít ${ displaystyle left {0,1 right } ^ { mathbb {R}}}$ (nebo jakýkoli produkt v množině s mohutností větší než kontinuum) s produktem sigma-algebra ${ displaystyle textstyle { mathcal {F}} = bigotimes _ {t in mathbb {R}} { mathcal {F}} _ {t}}$ kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} = left { emptyset, left {0 right }, left {1 right }, left {0,1 dobře dobře}}$ pro každého ${ displaystyle t in mathbb {R}}$ . Ve skutečnosti v tomto případě „většina“ promítaných množin není měřitelná, protože mohutnost ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je ${ displaystyle aleph _ {0} cdot 2 ^ { aleph _ {0}} = 2 ^ { aleph _ {0}}}$ , zatímco mohutnost promítaných množin je ${ displaystyle 2 ^ {2 ^ { aleph _ {0}}}}$ . Existují také příklady Borelových sad v rovině, jejichž projekce na skutečnou linii není Borelovou sadou, jak ukázala Suslin.^[2]

Věta o měřitelné projekci

Následující věta poskytuje dostatečnou podmínku, aby projekce měřitelných množin byla měřitelná.

Nechat ${ displaystyle left (X, { mathcal {F}} right)}$ být měřitelným prostorem a nechat ${ displaystyle left (Y, { mathcal {B}} right)}$ být polský prostor kde ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je její Borelova sigma-algebra. Pak pro každou množinu v produktu sigma-algebra ${ displaystyle { mathcal {F}} další časy { mathcal {B}}}$ , promítaný set na ${ displaystyle X}$ je univerzálně měřitelná množina relativně k ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ .^[4]

Důležitým zvláštním případem této věty je, že projekce libovolné Borelovy množiny ot ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n-k}}$ kde ${ displaystyle k$ je Lebesgue-měřitelné, i když to nemusí být nutně Borel set. Navíc to znamená, že bývalý příklad non-Lebesgue-měřitelné sady ${ displaystyle mathbb {R}}$ což je projekce nějaké měřitelné sady ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ , je jediný druh takového příkladu.