Améba (matematika) - Amoeba (mathematics)

Améba z P(z, w) = w − 2z − 1

Améba z P(z, w) = 3z² + 5zw + w³ + 1. Všimněte si „vakuola „uprostřed améby.

Améba z P(z, w) = 1 + z + z² + z³ + z²w³ + 10zw + 12z²w + 10z²w²

Améba z P(z, w) = 50z³ + 83z²w + 24zw² + w³ + 392z² + 414zw + 50w² − 28z + 59w − 100

Body v amébě P(X, y, z) = X + y + z - 1. Všimněte si, že améba je ve skutečnosti 3-dimenzionální, a ne povrch (to není zcela zřejmé z obrázku).

v komplexní analýza, pobočka matematika, an améba je soubor spojené s a polynomiální v jednom nebo více komplexní proměnné. Améby mají aplikace v algebraická geometrie, zvláště tropická geometrie.

Definice

Zvažte funkci

${displaystyle operatorname {Log}: {ig (} {mathbb {C}} setminus {0} {ig)} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$

definované na množině všech n-n-tice ${displaystyle z = (z_ {1}, z_ {2}, tečky, z_ {n})}$ nenulové komplexní čísla s hodnotami v Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ dané vzorcem

${displaystyle operatorname {Log} (z_ {1}, z_ {2}, tečky, z_ {n}) = {ig (} log | z_ {1} |, log | z_ {2} |, tečky, log | z_ {n} | {ig)}.}$

Zde log označuje přirozený logaritmus. Li p(z) je polynom v ${displaystyle n}$ komplexní proměnné, její améba ${displaystyle {mathcal {A}} _ {p}}$ je definován jako obraz sady nuly z p pod Log, takže

${displaystyle {mathcal {A}} _ {p} = left {operatorname {Log} (z): zin {ig (} mathbb {C} setminus {0} {ig)} ^ {n}, p (z) = 0ight}.}$

Améby byly představeny v roce 1994 v knize od Gelfand, Kapranov a Zelevinsky.^[1]

Vlastnosti

• Jakákoli améba je uzavřená sada.
• Žádný připojená součást z doplněk ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus {mathcal {A}} _ {p}}$ je konvexní.^[2]
• Oblast améby neidenticky nulového polynomu ve dvou komplexních proměnných je konečná.
• Dvojrozměrná améba má řadu „chapadel“, která jsou nekonečně dlouhá a exponenciálně úzká k nekonečnu.

Ronkinova funkce

Užitečným nástrojem při studiu améb je Ronkinova funkce. Pro p(z), polynom v n komplexní proměnné, jedna definuje Ronkinovu funkci

${displaystyle N_ {p}: mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R}}$

podle vzorce

${displaystyle N_ {p} (x) = {frac {1} {(2pi i) ^ {n}}} int _ {operatorname {Log} ^ {- 1} (x)} log | p (z) |, {frac {dz_ {1}} {z_ {1}}} klín {frac {dz_ {2}} {z_ {2}}} klín cdots klín {frac {dz_ {n}} {z_ {n}}}, }$

kde ${displaystyle x}$ označuje ${displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}).}$ Ekvivalentně ${displaystyle N_ {p}}$ je dáno integrálem

${displaystyle N_ {p} (x) = {frac {1} {(2pi) ^ {n}}} int _ {[0,2pi] ^ {n}} log | p (z) |, d heta _ { 1}, d heta _ {2} cdots d heta _ {n},}$

kde

${displaystyle z = left (e ^ {x_ {1} + i heta _ {1}}, e ^ {x_ {2} + i heta _ {2}}, tečky, e ^ {x_ {n} + i heta _{noc).}$

Funkce Ronkin je konvexní a afinní na každé připojené složce doplňku améby z ${displaystyle p (z)}$.^[3]

Jako příklad lze uvést Ronkinovu funkci a monomiální

${displaystyle p (z) = az_ {1} ^ {k_ {1}} z_ {2} ^ {k_ {2}} tečky z_ {n} ^ {k_ {n}}}$

s ${displaystyle aeq 0}$ je

${displaystyle N_ {p} (x) = log | a | + k_ {1} x_ {1} + k_ {2} x_ {2} + cdots + k_ {n} x_ {n}.}$

Reference

• Itenberg, Ilia; Mikhalkin, Grigory; Shustin, Eugenii (2007). Tropická algebraická geometrie. Semináře Oberwolfach. 35. Basilej: Birkhäuser. ISBN  978-3-7643-8309-1. Zbl  1162.14300.
• Viro, Oleg (2002), „Co je ... Améba?“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 49 (8): 916–917.

Další čtení

• Theobald, Thorsten (2002). „Výpočet améb“. Exp. Matematika. 11 (4): 513–526. doi:10.1080/10586458.2002.10504703. Zbl  1100.14048.

externí odkazy

• Améby algebraických odrůd