Algebra dlaždice - Algebra tile - Wikipedia

Algebra dlaždice jsou matematické manipulativy které studentům umožňují lépe porozumět způsobům algebraického myšlení a pojmům algebra. Ukázalo se, že tyto dlaždice poskytují konkrétní modely pro základní škola, střední škola, střední škola a úvodní na vysoké škole algebra studenti. Byly také použity k přípravě vězení vězni za své Obecný rozvoj vzdělávání (GED) testy.^[1] Algebra dlaždice umožňují jak algebraický, tak geometrický přístup k algebraickým konceptům. Dávají studenti jiný způsob řešení algebraických problémů než jen abstraktní manipulace.^[1] The Národní rada učitelů matematiky (NCTM ) doporučuje snížit důraz na zapamatování pravidel algebra a manipulace se symboly algebra v jejich Osnovy a evaluační standardy pro matematiku. Podle NCTM Standardy z roku 1989 „vzájemné rozšiřování modelů přispívá k lepšímu porozumění každému z nich“.^[2]

Tělesné vlastnosti

Příklady algebraových dlaždic

Algebra dlaždice jsou složeny z malých čtverce, obdélníky a velké čtverce. Malý čtverec, jednotková dlaždice, představuje 1; obdélník představuje proměnná ${ displaystyle x}$ ; a velký čtverec představuje ${ displaystyle x ^ {2}}$ . Boční strana ${ displaystyle x ^ {2}}$ dlaždice se rovná délce ${ displaystyle x}$ dlaždice. Šířka ${ displaystyle x}$ dlaždice je stejná jako strana jednotky. Navíc délka ${ displaystyle x}$ dlaždice často není celočíselný násobek strany dlaždice jednotky.

Dlaždice se skládají ze dvou barev: jedné k zobrazení pozitivní hodnoty a další k zobrazení negativní hodnoty. A nulový pár je záporná a kladná jednotka (nebo záporná a kladná) ${ displaystyle x}$ dlaždice nebo zápor a klad ${ displaystyle x ^ {2}}$ dlaždice), které dohromady tvoří součet nula.^[1]

Použití

Přidávání celých čísel

Přidání celých čísel je nejlepší místo, kde začít, když si chcete zvyknout na myšlenku reprezentovat čísla s množstvím dlaždic. Jakékoli celé číslo lze reprezentovat použitím stejného počtu dlaždic ve správné barvě. Například pro 6 by se dalo vybrat šest žlutých dlaždic. Za -3 by jeden vybral tři červené kameny. Dlaždice jsou obvykle oboustranné, na jedné straně žluté a na druhé červené. To studentovi umožňuje pochopit silný koncept „opaku“ negativu, což jednoduše znamená opak. Jedna žlutá dlaždice je tedy kladná a opačná (otočte ji) je záporná. Tato myšlenka se hodí při práci s - (-2). Chcete-li pracovat se složitou situací, jako je tato, začněte dvěma -1 s (červená strana) a extra negativní prostředky převezmou opak nebo je převrátí. - (-2) = 2.

Při přidávání dlaždic byste měli myslet na kombinaci veličin dohromady. Pokud jeden přidává 2 + 3, musí kombinovat dvě žluté dlaždice se třemi žlutými dlaždicemi a vytvořit 5 žlutých dlaždic. Stejný nápad funguje i při kombinování záporných čísel. Pokud má jeden přidat -3 + -1, musí kombinovat záporné tři červené dlaždice s jednou zápornou červenou dlaždicí a získat záporné čtyři červené dlaždice. -3 + -1 = -4.

Když jeden přidá kladná čísla k záporným číslům pomocí algebraových dlaždic, musí přinést myšlenku „eliminace“ nebo „nulových párů“ pokaždé, když přidá kladné číslo k zápornému. To platí pro libovolný počet dlaždic, pokud se stejné množství a opačné znaménko navzájem vylučují (nebo vytvářejí nulový pár). Například pokud jeden přidá -5 + 7, spojí pět červených dlaždic se sedmi žlutými dlaždicemi. Jeden může spojit červené a žluté dlaždice po jednom, aby se odstranilo pět žlutých dlaždic a skončily se dvěma žlutými dlaždicemi a nulovými červenými dlaždicemi. -5 + 7 = 2.

Pokud začínáme více žlutými dlaždicemi než červenou, bude odpověď kladná. Pokud jeden začíná s více červenými dlaždicemi než žlutými, bude odpověď záporná.

Ještě jeden příklad: -5 + 2. Pět červených dlaždic se kombinuje se dvěma žlutými dlaždicemi. Dvě žluté dlaždice se navzájem vylučují (nebo tvoří nulový pár), přičemž dvě červené dlaždice zanechávají tři červené dlaždice. -5 + 2 = -3.

Odečtení celých čísel

K odečtení lze také použít dlaždice algebry celá čísla. Osoba může mít problém, jako je ${ displaystyle 6-3 =?}$ a začněte skupinou šesti žetonů jednotek a potom vezměte tři pryč, abyste studentovi nechali tři zbývající, takže pak ${ displaystyle 6-3 = 3}$ . Algebra dlaždice lze také použít k řešení problémů, jako je ${ displaystyle -4 - (- 2) =?}$ , což je ekvivalent problému ${ displaystyle -4 + 2}$ . Schopnost spojit tyto dva problémy a důvod, proč vedou ke stejné odpovědi, je důležitá, protože to ukazuje ${ displaystyle - (- 2) = 2}$ . Další způsob, jakým lze použít dlaždice algebry celé číslo odčítání lze vidět při pohledu na problémy, kde je třeba odečíst kladnou hodnotu celé číslo z menšího pozitivu celé číslo, jako ${ displaystyle 5-8}$ . Zde by člověk začínal s pěti kladnými jednotkovými dlaždicemi a poté přidal nula párů k pěti kladným jednotkovým dlaždicím, dokud nebylo osm kladných jednotkových dlaždic. Přidání nulových párů nezmění hodnotu původních pěti kladných jednotkových dlaždic. Student by pak odstranil osm kladných jednotkových dlaždic a spočítal počet zbývajících negativních jednotkových dlaždic. Tento počet záporných jednotkových dlaždic by pak byl odpovědí, která by byla -3.^[3]

Násobení celých čísel

Násobení z celá čísla s algebraickými dlaždicemi se provádí vytvořením obdélníku s dlaždicemi. The délka a šířka obdélníku by byly dva faktory a pak by celkový počet dlaždic v obdélníku byl odpovědí na násobení problém. Například za účelem určení 3 × 4 by člověk vzal tři kladné jednotkové dlaždice představující tři řádky v obdélníku a pak by byly čtyři kladné jednotkové dlaždice představující sloupce v obdélníku. To by vedlo k vytvoření obdélníku se čtyřmi sloupci se třemi kladnými jednotkovými dlaždicemi, což představuje 3 × 4. Nyní může student spočítat počet dlaždic jednotek v obdélníku, který se bude rovnat 12.

Modelování a zjednodušení algebraických výrazů

Modelování algebraických výrazů pomocí dlaždic algebry je velmi podobné modelování přidání a odčítání celých čísel pomocí dlaždic algebry. Ve výrazu, jako je ${ displaystyle 5x-3}$ jeden by seskupil pět kladných x dlaždic dohromady a potom tři záporné jednotkové dlaždice dohromady, aby reprezentoval tento algebraický výraz. Spolu s modelováním těchto výrazů lze dlaždice algebry také použít ke zjednodušení algebraických výrazů. Například pokud má ${ displaystyle 4x + 5-2x-3}$ mohou kombinovat kladné a záporné x dlaždice a dlaždice jednotek za vzniku nulových párů, aby studentovi zůstal výraz ${ displaystyle 2x + 2}$ . Vzhledem k tomu, že dlaždice jsou rozloženy přímo před studentem, je snadné kombinovat podobné výrazy nebo výrazy, které představují stejný typ dlaždic.^[3]

The distribuční vlastnictví je modelován skrz dlaždice algebry demonstrací, že a (b + c) = (a × b) + (a × c). Jeden by chtěl modelovat to, co je znázorněno na obou stranách rovnice samostatně, a určit, že jsou si navzájem rovny. Pokud to někdo chce ukázat ${ displaystyle 3 (x + 1) = 3x + 3}$ pak by udělali tři sady z jedné jednotkové dlaždice a jedné x dlaždice a poté je spojili dohromady, aby zjistili, zda to povede ${ displaystyle 3x + 3}$ , což dělá.^[4]

Řešení lineárních rovnic sčítáním

The lineární rovnice ${ displaystyle x-8 = 6}$ lze modelovat s jedním pozitivem ${ displaystyle x}$ dlaždice a osm negativních jednotkových dlaždic na levé straně kusu papíru a šest pozitivních jednotkových dlaždic na pravé straně. Aby byla zachována rovnost stran, musí být každá akce provedena na obou stranách.^[1] Například na obě strany lze přidat osm kladných dlaždic jednotek.^[1] Z levé strany jsou odstraněny nulové páry jednotkových dlaždic, přičemž jeden je ponechán ${ displaystyle x}$ dlaždice. Pravá strana má 14 kladných jednotek ${ displaystyle x = 14}$ .

Model dlaždice algebry ${ displaystyle x-6 = 2}$
Model dlaždice algebry ${ displaystyle x-6 + 6 = 2 + 6}$
Model dlaždice algebry ${ displaystyle x = 8}$

Řešení lineárních rovnic pomocí odčítání

Rovnice ${ displaystyle x + 7 = 10}$ lze modelovat s jedním pozitivem ${ displaystyle x}$ dlaždici a sedm kladných jednotkových dlaždic na levé straně a 10 kladných jednotkových dlaždic na pravé straně. Spíše než přidávat stejný počet dlaždic na obě strany, lze od obou stran odečíst stejný počet dlaždic. Například z obou stran lze odstranit sedm kladných dlaždic jednotek. To zanechává jedno pozitivní ${ displaystyle x}$ dlaždice na levé straně a tři kladné jednotky na pravé straně, takže ${ displaystyle x = 3}$ .^[1]

Model dlaždice algebry ${ displaystyle x + 7 = 10}$
Model dlaždice algebry ${ displaystyle x = 3}$

Řešení lineárních systémů

Lineární systémy rovnic lze řešit algebraicky izolováním jedné z proměnných a následným nahrazením. Izolaci proměnné lze modelovat pomocí dlaždic algebry podobným způsobem jako při řešení lineárních rovnic (výše) a substituci lze modelovat pomocí dlaždic algebry nahrazením dlaždic jinými dlaždicemi.

Násobení polynomů

Při použití dlaždic algebry k násobení a monomiální podle a monomiální, student musí nejprve nastavit obdélník, kde délka obdélníku je ten monomiální a pak šířka obdélníku je druhá monomiální, podobně jako když se jeden násobí celá čísla pomocí algebraových dlaždic. Jakmile jsou strany obdélníku reprezentovány dlaždicemi algebry, pokusili bychom se zjistit, které dlaždice algebry by obdélník vyplnily. Například pokud by jeden měl x × x, jedinou algebrickou dlaždicí, která by dokončila obdélník, by bylo x²což je odpověď.

Násobení z dvojčleny je podobný násobení z monomials při použití dlaždic algebry. Násobení dvojčleny lze také považovat za vytvoření obdélníku, kde faktory jsou délka a šířka.^[2] Stejně jako u monomials, dalo by se nastavit strany obdélníku jako faktory a poté vyplňte obdélník dlaždicemi algebry.^[2] Tato metoda množení algebraických dlaždic polynomy je známý jako plošný model^[5] a lze jej také použít pro násobení monomials a dvojčleny jeden s druhým. Příklad násobení dvojčleny is (2x + 1) × (x + 2) and the first step the student would take is set up two positive x dlaždice and one positive unit tile to represent the délka obdélníku a jeden by vzal jednu kladnou x dlaždici a dvě kladné jednotkové dlaždice, které představují šířka. Tyto dva řádky dlaždic by vytvořily prostor, který vypadá jako obdélník, který může být vyplněn určitými dlaždicemi. V případě tohoto příkladu by se obdélník skládal ze dvou kladných x² dlaždice, pět kladných x dlaždic a dvě kladné jednotky. Řešení je tedy 2x²+ 5x + 2.

Factoring

Model dlaždice algebry

{ displaystyle x ^ {2} + 3x + 2}

Aby bylo možné faktorovat pomocí algebraových dlaždic, je třeba začít se sadou dlaždic, které student kombinuje do obdélníku, což může vyžadovat přidání nulových párů, aby se vytvořil obdélníkový tvar. Příkladem může být situace, kdy jeden dostane kladné x² dlaždice, tři kladné x dlaždice a dvě kladné jednotky. Student vytvoří obdélník tak, že má x² dlaždice v pravém horním rohu, pak jedna má dvě x dlaždice na pravé straně x² dlaždice, jedna x dlaždice pod x² dlaždice a dvě jednotky jsou v pravém dolním rohu. Umístěním dlaždic algebry po stranách tohoto obdélníku můžeme určit, že potřebujeme jednu kladnou x dlaždici a jednu kladnou jednotkovou dlaždici pro délka a poté jednu kladnou x dlaždici a dvě kladné jednotkové dlaždice pro šířka. To znamená, že ti dva faktory jsou ${ displaystyle x + 1}$ a ${ displaystyle x + 2}$ .^[1] V jistém smyslu jde o opak postupu pro násobení polynomy.

Dokončení náměstí

Proces dokončení náměstí lze dosáhnout použitím algebraových dlaždic umístěním x² dlaždic a x dlaždic do čtverce. Jeden nebude schopen úplně vytvořit čtverec, protože z většího čtverce, který student vyrobil z dlaždic, které dostal, bude chybět menší čtverec, který bude vyplněn jednotkovými dlaždicemi. Na doplňte náměstí, student určí, kolik jednotkových dlaždic by bylo potřeba k vyplnění chybějícího čtverce. Na doplňte náměstí z x²+ 6x, jedna by začala s jedním kladným x² dlaždice a šest kladných x dlaždic. Potom by umístili x² dlaždici v levém horním rohu a potom jeden by umístil tři kladné x dlaždice vpravo od x² dlaždice a tři kladné jednotky x dlaždice pod x² dlaždice. Abychom vyplnili čtverec, potřebujeme devět kladných jednotkových dlaždic. nyní jsme vytvořili x²+ 6x + 9, do kterých lze započítat ${ displaystyle (x + 3) (x + 3)}$ .^[6]

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Kitt 2000.
^ ^A ^b ^C Stein 2000.
^ ^A ^b „Škola Prentice Hall“ (PDF). Phschool.com. Archivovány od originál (PDF) dne 2012-02-12. Citováno 2013-07-22.
^ [1] Archivováno 16. května 2008, v Wayback Machine
^ Larson R: „Algebra 1“, strana 516. McDougal Littell, 1998.
^ Donna Roberts. „Použití algebrických dlaždic k dokončení čtverce“. Regentsprep.org. Archivovány od originál dne 18. 8. 2013. Citováno 2013-07-22.

Zdroje

Kitt, Nancy A. a Annette Ricks Leitze. „Využití domácích algebraických dlaždic k vývoji konceptů algebry a prealgebry.“ UČITEL MATEMATIKY 2000. 462-520.
Stein, Mary Kay a kol., Implementace standardizované matematické instrukce. New York: Teachers College Press, 2000.
Larson, Ronald E., Algebra 1. Illinois: McDougal Littell, 1998.

externí odkazy

Národní knihovna virtuálních manipulátorů

[Kitt,_N-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Kitt 2000.

[Stein,_M-2] A ^b ^C Stein 2000.

[phschool.com-3] A ^b „Škola Prentice Hall“ (PDF). Phschool.com. Archivovány od originál (PDF) dne 2012-02-12. Citováno 2013-07-22.

[4] [1] Archivováno 16. května 2008, v Wayback Machine

[5] Larson R: „Algebra 1“, strana 516. McDougal Littell, 1998.

[6] Donna Roberts. „Použití algebrických dlaždic k dokončení čtverce“. Regentsprep.org. Archivovány od originál dne 18. 8. 2013. Citováno 2013-07-22.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]