Sada přijetí - Acceptance set

v finanční matematika, akceptační sada je soubor přijatelného budoucího čistého jmění, který je přijatelný pro regulátor. Souvisí to s riziková opatření.

Matematická definice

Vzhledem k pravděpodobnostnímu prostoru ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$a nechat ${ displaystyle L ^ {p} = L ^ {p} ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ být LP prostor ve skalárním případě a ${ displaystyle L_ {d} ^ {p} = L_ {d} ^ {p} ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ v dimenzích d pak můžeme definovat akceptační sady, jak je uvedeno níže.

Skalární případ

Přijímací sada je sada ${ displaystyle A}$ uspokojující:

1. ${ displaystyle A supseteq L _ {+} ^ {p}}$
2. ${ displaystyle A cap L _ {-} ^ {p} = emptyset}$ takhle ${ displaystyle L _ {-} ^ {p} = {X v L ^ {p}: forall omega in Omega, X ( omega) <0 }}$
3. ${ displaystyle A cap L _ {-} ^ {p} = {0 }}$
4. Navíc pokud ${ displaystyle A}$ je konvexní pak je to konvexní akceptační sada
   1. A pokud ${ displaystyle A}$ je pozitivně homogenní kužel pak to je koherentní akceptační sada^[1]

Set-oceněný případ

Akceptační sada (v prostoru s ${ displaystyle d}$ aktiva) je sada ${ displaystyle A subseteq L_ {d} ^ {p}}$ uspokojující:

1. ${ displaystyle u v K_ {M} Rightarrow u1 v A}$ s ${ displaystyle 1}$ označující náhodnou proměnnou, která je neustále 1 ${ displaystyle mathbb {P}}$-tak jako.
2. ${ displaystyle u in - mathrm {int} K_ {M} Rightarrow u1 ne v A}$
3. ${ displaystyle A}$ je směrově uzavřeno v ${ displaystyle M}$ s ${ displaystyle A + u1 subseteq A ; for all u in K_ {M}}$
4. ${ displaystyle A + L_ {d} ^ {p} (K) subseteq A}$

Navíc, pokud ${ displaystyle A}$ je konvexní (a konvexní kužel ) pak se nazývá a konvexní (koherentní) akceptační sada. ^[2]

Všimněte si, že ${ displaystyle K_ {M} = K cap M}$ kde ${ displaystyle K}$ je konstanta kužel solventnosti a ${ displaystyle M}$ je soubor portfolií ${ displaystyle m}$ referenční aktiva.

Vztah k rizikovým opatřením

Akceptační sada je konvexní (koherentní) právě tehdy, je-li odpovídající míra rizika konvexní (koherentní). Jak je definováno níže, lze ukázat, že ${ displaystyle R_ {A_ {R}} (X) = R (X)}$ a ${ displaystyle A_ {R_ {A}} = A}$.^{[Citace je zapotřebí ]}

Sada opatření k přijetí rizika

• Li ${ displaystyle rho}$ je tedy (skalární) míra rizika ${ displaystyle A _ { rho} = {X v L ^ {p}: rho (X) leq 0 }}$ je akceptační sada.
• Li ${ displaystyle R}$ je tedy měřítkem rizika se stanovenou hodnotou ${ displaystyle A_ {R} = {X v L_ {d} ^ {p}: 0 v R (X) }}$ je akceptační sada.

Přijetí nastaveno na míru rizika

• Li ${ displaystyle A}$ je pak sada přijetí (v 1-d) ${ displaystyle rho _ {A} (X) = inf {u in mathbb {R}: X + u1 v A }}$ definuje (skalární) míru rizika.
• Li ${ displaystyle A}$ je pak sada přijetí ${ displaystyle R_ {A} (X) = {u v M: X + u1 v A }}$ je měřítko rizika se stanovenou hodnotou.

Příklady

Superhedging cena

Sada přijetí spojená s cenou superhedging je záporná množina hodnot a samofinancování portfolia v terminálním čase. To je

${ displaystyle A = {- V_ {T} :( V_ {t}) _ {t = 0} ^ {T} { text {je cena portfolia samofinancování pokaždé}} }}$.

Míra entropického rizika

Akceptační sada spojená s měřením entropického rizika je sada výplat s očekávaným kladem nástroj. To je

${ displaystyle A = {X v L ^ {p} ({ mathcal {F}}): E [u (X)] geq 0 } = {X v L ^ {p} ({ mathcal {F}}): E left [e ^ {- theta X} right] leq 1 }}$

kde ${ displaystyle u (X)}$ je exponenciální užitečnost funkce.^[3]

Reference