Abstraktní diferenciální rovnice - Abstract differential equation - Wikipedia

v matematika, an abstraktní diferenciální rovnice je diferenciální rovnice ve kterém neznámo funkce a jeho deriváty nabývají hodnot v nějakém obecném abstraktním prostoru (Hilbertův prostor, Banachův prostor atd.). Rovnice tohoto druhu vznikají např. ve studiu parciální diferenciální rovnice: pokud je jedné z proměnných dána privilegovaná pozice (např. čas, v teplo nebo mávat rovnice) a všechny ostatní dohromady, získá se obyčejná „diferenciální“ rovnice s ohledem na proměnnou, která byla uvedena v důkazu. Přidávání okrajové podmínky lze často přeložit z hlediska zvažování řešení v některých pohodlných funkčních prostorech.

Klasická abstraktní diferenciální rovnice, se kterou se nejčastěji setkáváme, je rovnice^[1]

${ displaystyle { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = Au + f}$

kde neznámá funkce ${ displaystyle u = u (t)}$ patří některým funkční prostor ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle 0 leq t leq T leq infty}$ a ${ displaystyle A: X až X}$ je operátor (obvykle lineární operátor) působící na tento prostor. Vyčerpávající zacházení s homogenem (${ displaystyle f = 0}$) případ s konstantním operátorem je dán teorií C₀-skupiny. Studium dalších abstraktních diferenciálních rovnic je velmi často (např. Redukcí na množinu rovnic prvního řádu) studiem této rovnice.

Teorii abstraktních diferenciálních rovnic založil profesor Einar Hille v několika novinách a ve své knize Funkční analýza a poloskupiny.^[2] Dalšími hlavními přispěvateli byli^[3] Kosaku Yosida, Ralph Phillips, Isao Miyadera a Selim Grigorievich Kerin.

Abstrakt Cauchyho problém

Definice

Nechat^[4][5][6] ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ být dva lineární operátory, s doménami ${ displaystyle D (A)}$ a ${ displaystyle D (B)}$jednající v a Banachův prostor ${ displaystyle X}$. Funkce ${ displaystyle u (t): [0, T] až X}$ se říká, že má silný derivát (nebo být Frechet diferencovatelné nebo jednoduše rozlišitelný) na místě ${ displaystyle t_ {0}}$ pokud existuje prvek ${ displaystyle y v X}$ takhle

${ displaystyle lim _ {h to 0} left | { frac {u (t_ {0} + h) -u (t_ {0})} {h}} - y right | = 0 }$

a jeho derivát je ${ displaystyle u '(t_ {0}) = y}$.

A řešení rovnice

${ displaystyle B { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = Au}$

je funkce ${ displaystyle u (t): [0, infty) až D (A) čepice D (B)}$ takové, že:

• ${ displaystyle (Bu) (t) v C ([0, infty); X),}$
• silný derivát ${ displaystyle u '(t)}$ existuje ${ displaystyle forall t in [0, infty)}$ a ${ displaystyle u '(t) v D (B)}$ pro jakékoli takové ${ displaystyle t}$, a
• platí předchozí rovnost ${ displaystyle forall t in [0, infty)}$.

The Cauchyho problém spočívá v nalezení řešení rovnice, splnění počáteční podmínky ${ displaystyle u (0) = u_ {0} v D (A) čepici D (B)}$.

No posedlost

Podle definice dobře položený problém podle Hadamard, říká se, že Cauchyův problém je dobře pózoval (nebo opravit) zapnuto ${ displaystyle [0, infty)}$ li:

• pro všechny ${ displaystyle u_ {0} v D (A) čepici D (B)}$ má jedinečné řešení a
• toto řešení nepřetržitě závisí na počátečních datech v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle u_ {n} (0) až 0}$ (${ displaystyle u_ {n} (0) v D (A) čepici D (B)}$), pak ${ displaystyle u_ {n} (t) až 0}$ za odpovídající řešení u každého ${ displaystyle t in [0, infty).}$

Říká se, že dobře položený Cauchyův problém rovnoměrně dobře pózoval -li ${ displaystyle u_ {n} (0) až 0}$ naznačuje ${ displaystyle u_ {n} (t) až 0}$ jednotně v ${ displaystyle t}$ na každém konečném intervalu ${ displaystyle [0, T]}$.

Poloskupina operátorů spojených s Cauchyho problémem

K abstraktnímu Cauchyovu problému lze přiřadit a poloskupina operátorů ${ displaystyle U (t)}$, tj. rodina ohraničené lineární operátory v závislosti na parametru ${ displaystyle t}$ (${ displaystyle 0$) takové, že

${ displaystyle U (t_ {1} + t_ {2}) = U (t_ {1}) U (t_ {2}) quad (0$

Zvažte operátora ${ displaystyle U (t)}$ který přiřadí prvku ${ displaystyle u_ {n} (0) v D (A) čepici D (B)}$ hodnota řešení ${ displaystyle u (t)}$ Cauchyho problému (${ displaystyle u (0) = u_ {0}}$) v tuto chvíli ${ displaystyle t> 0}$. Pokud je problém Cauchy dobře položen, pak operátor ${ displaystyle U (t)}$ je definováno na ${ displaystyle D (A) čepice D (B)}$ a tvoří poloskupinu.

Navíc, pokud ${ displaystyle D (A) čepice D (B)}$ je hustý v ${ displaystyle X}$, operátor ${ displaystyle U (t)}$ lze rozšířit na ohraničený lineární operátor definovaný v celém prostoru ${ displaystyle X}$. V tomto případě je možné přidružit se k libovolnému ${ displaystyle x_ {0} v X}$ funkce ${ displaystyle U (t) x_ {0}}$, pro všechny ${ displaystyle t> 0}$. Taková funkce se nazývá zobecněné řešení Cauchyho problému.

Li ${ displaystyle D (A) čepice D (B)}$ je hustá v ${ displaystyle X}$ a Cauchyho problém je rovnoměrně dobře položen, pak přidružená poloskupina ${ displaystyle U (t)}$ je C₀-skupinová skupina v ${ displaystyle X}$.

Naopak, pokud ${ displaystyle A}$ je nekonečně malý generátor C.₀-skupinová skupina ${ displaystyle U (t)}$, pak Cauchyho problém

${ displaystyle { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = Au quad u (0) = u_ {0} v D (A)}$

je rovnoměrně dobře položen a řešení je dáno

${ displaystyle u (t) = U (t) u_ {0}.}$

Nehomogenní problém

Cauchyho problém

${ displaystyle { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = Au + f quad u (0) = u_ {0} v D (A)}$

s ${ displaystyle f: [0, infty) až X}$, je nazýván nehomogenní když ${ displaystyle f (t) neq 0}$. Následující věta poskytuje některé dostatečné podmínky pro existenci řešení:

Teorém. Li ${ displaystyle A}$ je nekonečně malý generátor C.₀-skupinová skupina ${ displaystyle T (t)}$ a ${ displaystyle f}$ je průběžně diferencovatelné, pak funkce

${ displaystyle u (t) = T (t) u_ {0} + int _ {0} ^ {t} T (t-s) f (s) , ds, quad t geq 0}$

je jedinečné řešení (abstraktního) nehomogenního Cauchyova problému.

Integrál na pravé straně ve smyslu a Bochnerův integrál.

Časově závislý problém

Problém^[7] hledání řešení problému počáteční hodnoty

${ displaystyle { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = A (t) u + f quad u (0) = u_ {0} v D (A),}$

kde neznámá je funkce ${ displaystyle u: [0, T] až X}$, ${ displaystyle f: [0, T] až X}$ je uveden a pro každého ${ displaystyle t v [0, T]}$, ${ displaystyle A (t)}$ je dané, Zavřeno, lineární operátor v ${ displaystyle X}$ s doménou ${ displaystyle D [A (t)] = D}$, nezávislý na ${ displaystyle t}$ a hustá ${ displaystyle X}$, je nazýván závislé na čase Cauchyho problém.

Funkce oceněná operátorem ${ displaystyle U (t, tau)}$ s hodnotami v ${ displaystyle B (X)}$ (prostor všech ohraničené lineární operátory z ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle X}$), definované a silně spojité společně v ${ displaystyle t, tau}$ pro ${ displaystyle 0 leq tau leq t leq T}$, se nazývá a zásadní řešení problému závislého na čase, pokud:

• parciální derivace ${ displaystyle { frac { mathrm { delta} U (t, tau)} { mathrm { delta} t}}}$ existuje v silná topologie z ${ displaystyle X}$, patří ${ displaystyle B (X)}$ pro ${ displaystyle 0 leq tau leq t leq T}$, a je silně spojitá v ${ displaystyle t}$ pro ${ displaystyle 0 leq tau leq t leq T}$;
• rozsah ${ displaystyle U (t, tau)}$ je v ${ displaystyle D}$;
• ${ displaystyle { frac { mathrm { delta} U (t, tau)} { mathrm { delta} t}} + A (t) U (t, tau) = 0, quad 0 leq tau leq t leq T,}$ a
• ${ displaystyle U ( tau, tau) = já}$.

${ displaystyle U ( tau, tau)}$ se také nazývá evoluční operátor, propagátor, operátor řešení nebo Greenova funkce.

Funkce ${ displaystyle u: [0, T] až X}$ se nazývá a mírné řešení problému závislého na čase, pokud připouští integrální zastoupení

${ displaystyle u (t) = U (t, 0) u_ {0} + int _ {0} ^ {t} U (t, s) f (s) , ds, quad t geq 0. }$

Existují různé známé dostatečné podmínky pro existenci evolučního operátora ${ displaystyle U (t, tau)}$. Prakticky ve všech případech uvažovaných v literatuře ${ displaystyle -A (t)}$ se považuje za infinitezimální generátor C₀-skupina zapnuta ${ displaystyle X}$. Zhruba řečeno, pokud ${ displaystyle -A (t)}$ je nekonečně malý generátor a kontrakční poloskupina rovnice se říká, že je z hyperbolický typ; -li ${ displaystyle -A (t)}$ je nekonečně malý generátor analytická poloskupina rovnice se říká, že je z parabolický typ.

Nelineární problém

Problém^[7] najít řešení buď

${ displaystyle { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = f (t, u) quad u (0) = u_ {0} v X}$

kde ${ displaystyle f: [0, T] krát X až X}$ je uveden, nebo

${ displaystyle { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} t}} = A (t) u quad u (0) = u_ {0} v D (A)}$

kde ${ displaystyle A}$ je nelineární operátor s doménou ${ displaystyle D (A) v X}$, je nazýván nelineární Cauchyho problém.

Viz také

• C0-poloskupina

Reference