Analytická poloskupina - Analytic semigroup

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Analytická poloskupina“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Října 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an analytická poloskupina je zvláštní druh silně spojitá poloskupina. Analytické poloskupiny se používají při řešení parciální diferenciální rovnice; ve srovnání se silně spojitými poloskupinami poskytují analytické poloskupiny lepší výsledky pravidelnost řešení problémy s počáteční hodnotou, lepší výsledky týkající se poruch periferie nekonečně malý generátor a vztah mezi typem poloskupiny a spektrum nekonečně malého generátoru.

Definice

Nechť Γ (t) = exp (Na) být silně spojitou jednoparametrovou poloskupinou na a Banachův prostor (X, || · ||) s nekonečně malým generátorem A. Γ se říká, že je analytická poloskupina -li

• pro některé 0 <θ < π ⁄ 2, spojitý lineární operátor exp (Na) : X → X lze rozšířit na t ∈ Δ_θ,

${displaystyle Delta _ {heta} = {0} pohár {tin mathbb {C}: | mathrm {arg} (t) |$

a platí obvyklé podmínky poloskupiny s, t ∈ Δ_θ: exp (A0) = id, exp (A(t + s)) = exp (Na) exp (Tak jako) a pro každého X ∈ X, exp (Na)X je kontinuální v t;

• a pro všechny t ∈ Δ_θ {0}, exp (Na) je analytický v t ve smyslu jednotná topologie operátora.

Charakterizace

Infinitezimální generátory analytických poloskupin mají následující charakterizaci:

A Zavřeno, hustě definované lineární operátor A na Banachově prostoru X je generátor analytické poloskupiny kdyby a jen kdyby existuje ω ∈ R takové, že polorovina Re(λ) > ω je obsažen v sada rozpouštědel z A a navíc existuje konstanta C takhle

${displaystyle | R_ {lambda} (A) | leq {frac {C} {| lambda -omega |}}}$

pro Re (λ) > ω a kde ${displaystyle R_ {lambda} (A)}$ je rozpouštědlo provozovatele A. Takoví operátoři se nazývají sektorový. Pokud tomu tak je, pak sada řešení problémů ve skutečnosti obsahuje sektor formuláře

${displaystyle left {lambda in mathbf {C}: | mathrm {arg} (lambda -omega) | <{frac {pi} {2}} + delta ight}}$

pro některé δ > 0, a v tomto sektoru platí analogický odhad solventnosti. Poloskupinu navíc představuje

${displaystyle exp (At) = {frac {1} {2pi i}} int _ {gamma} e ^ {lambda t} (lambda mathrm {id} -A) ^ {- 1}, mathrm {d} lambda,}$

kde y je libovolná křivka z E^−iθ∞ do E^+iθ∞ takové y leží zcela v tomto sektoru

${displaystyle {ig {} lambda v mathbf {C}: | mathrm {arg} (lambda -omega) | leq heta {ig}},}$

s π ⁄ 2 < θ < π ⁄ 2 + δ.

Reference

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. str. xiv + 434. ISBN  0-387-00444-0. PAN  2028503.