A. H. Lightstone - A. H. Lightstone

A.H. Lightstone v šachu

Albert Harold Lightstone (1926–1976)^[1] byl kanadský matematik. Byl jedním z průkopníků nestandardní analýza, doktorand z Abraham Robinson, a později spoluautor knihy s Robinsonem Nonarchimedean pole a asymptotické expanze.^[2]

Životopis

Lightstone získal titul PhD University of Toronto v roce 1955 pod dohledem Abrahama Robinsona; jeho práce byla oprávněná Příspěvky k teorii kvantifikace.^[3] Byl profesorem matematiky na Carleton University^[4] a Queen's University.^[5]

Výzkum

Desetinné hyperrealy

Ve svém článku "Infinitesimals" v Americký matematický měsíčník v roce 1972,^[6] Lightstone popsal prodlouženou desetinnou notaci pro hyperrealy. Tady je u každého číslice hyperpřirozené místo každé číslice dané přirozeným číslem. Takové hyperrealistické desetinné místo se píše jako

${ displaystyle a.a_ {1} a_ {2} ldots; ldots a_ {H-1} a_ {H} a_ {H + 1} ldots ,.}$

Tady číslice ${ displaystyle a_ {H}}$ se objeví na hodnosti ${ displaystyle H}$, což je typická nekonečná hyperpřirozenost. Středník odděluje číslice v konečných řadách od číslic v nekonečných řadách. Tedy číslo 0,000 ...; ... 01 s číslicí „1“ na nekonečném pořadí H, odpovídá nekonečně malému ${ displaystyle 10 ^ {- H}}$.

Rozdíl 1 - 0,000 ...; ... 01 je 0,999 ...; ... 9 s nekonečným množstvím hyperpřirozené Hodnota číslic 9. Alternativní notace pro druhou je

${ displaystyle 0. spodní výztuha {999 ldots 9} _ {H} ,}$

kde H je nekonečně hyperpřirozený. Rozšířená desetinná notace poskytuje pečlivou matematickou implementaci studentských intuicí infinitezimálu ve tvaru 0,000 ... 01. Takové intuice studentů a jejich užitečnost při učení nekonečně malý počet byly analyzovány ve studii z roku 2010 Robertem Elym v Časopis pro výzkum ve výuce matematiky.^[7]

Jiný výzkum

Hlavní výzkumné příspěvky společnosti Lightstone byly v nestandardní analýza. On také psal příspěvky na úhlová trisekce,^[4] inverze matice,^[8] a aplikace teorie skupin na formální logika.^[9]

Knihy

Lightstone byl autorem nebo spoluautorem několika knih o matematice:

• Axiomatická metoda: Úvod do matematické logiky (Prentice Hall, 1964). Tato úvodní učebnice je rozdělena do dvou částí, z nichž jedna poskytuje neformální úvod Logická logika a druhá pomocí formálních metod k prokázání konzistence a úplnosti predikátový počet.^[10] Je zaměřen na studenty, kteří již mají určité znalosti abstraktní algebra, a jedním z jeho témat je algebraický pohled na matematické důkazy logicky.^[11]
• Pojmy kalkulu (Harper a Row, 1965). Toto je učebnice o počet z skutečné funkce jedné proměnné. Recenzent D. R. Dickinson napsal, že „obsahuje mnoho nových a zajímavých materiálů“; stěžoval si však také na jeho pedantské vyhýbání se proměnným (místo nich používající funkce identity), zbytečné naléhání na zvažování pouze funkcí, jejichž derivace má stejnou doménu jako samotná funkce, a „nudné a zdlouhavé diskuse o základních tématech“.^[12]
  • Concepts of Calculus, sv. 2 (Harper and Row, 1966)
  • Řešení cvičení pro Concepts of Calculus (Harper and Row, 1966)
• Základy lineární algebry (Appleton-Century-Crofts, 1969, ISBN  0-390-56050-2)
• Symbolická logika a systém reálných čísel: Úvod do základů číselných systémů (Harper a Row, 1965). Tato kniha poskytuje kurz v konstrukce reálných čísel na základě formální logika.^[13] Jejím cílem je jednak ukázat, jak lze reálná čísla vyvinout z jednodušších pojmů v aritmetice, a jednak prokázat dopad logiky na zbytek matematiky.^[14] Kromě pokrytí témat nadpisu obsahuje také dlouhou část axiomů pro několik algebraických struktur: skupiny, prsteny, pole, a Booleovy algebry.^[15] Jedna výstřednost je, že spíše než axiomatizace reálných čísel pomocí Dedekind škrty nebo Cauchyovy sekvence, založí svou axiomatizaci na posloupnosti desetinných čísel.^[13][14][15]
• Nonarchimedean pole a asymptotické expanze (s Abrahamem Robinsonem, Severní Holandsko, 1975). 2016 pbk dotisk. Toto je úvodní učebnice, která se pokouší vytvořit materiál z monografie Robinsona z roku 1966 Nestandardní analýza přístupnější,^[16] a prokázat užitečnost nestandardní analýza při studiu asymptotické expanze.^[17] Bylo založeno na počátečním návrhu Robinsona a dokončeno posmrtně Lightstone, který sám brzy poté zemřel.^[16][17] Začíná úvodem do ne-Archimédova pole s mnoha užitečnými příklady přináší potřebné nástroje z matematická logika počítaje v to ultrapower, věnuje dvě kapitoly popisu, jak to udělat nestandardní analýza za použití Pole Levi-Civita a končí třemi kapitolami o asymptotických expanzích.^[16]
• Matematická logika: Úvod do teorie modelů (Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, sv. 9, Plenum Press, 1978, ISBN  0-306-30894-0). Tato kniha byla vydána posmrtně, editoval Herbert Enderton. Je rozdělena do tří částí, jedné na výrokový kalkul, druhá část dne formální sémantika a třetí část o aplikacích teorie modelů včetně nestandardní analýza a teorie množin.^[18] Bylo však kritizováno za pomalé tempo jeho prvního oddílu a za jeho celkový nedostatek matematické přesnosti.^[18][19]

Ocenění a vyznamenání

Queen's University každoročně uděluje stipendium Alberta Harolda Lightstone, pojmenované pro Lightstone, čtvrtému ročníku vyznamenáním vysokoškoláka se specializací na matematiku nebo statistiku.^[20][21] Stipendium založila Lightstoneova manželka po jeho smrti.^[22]

Reference