Zolotarevovy polynomy - Zolotarev polynomials

V matematice Zolotarevovy polynomy jsou polynomy použito v teorie aproximace. Někdy se používají jako alternativa k Čebyševovy polynomy kde přesnost aproximace blízko počátku má menší význam. Zolotarevovy polynomy se liší od Čebyševových polynomů tím, že dva z koeficientů jsou stanoveny předem, než aby jim bylo umožněno nabývat jakékoli hodnoty. Čebyševovy polynomy prvního druhu jsou zvláštním případem Zolotarevových polynomů. Tyto polynomy zavedl ruský matematik Jegor Ivanovič Zolotarev v roce 1868.

Definice a vlastnosti

Zolotarevovy polynomy stupně ${ displaystyle n}$ v ${ displaystyle x}$ jsou ve formě

${ displaystyle Z_ {n} (x, sigma) = x ^ {n} - sigma x ^ {n-1} + cdots + a_ {k} x ^ {k} + cdots + a_ {0} ,}$

kde ${ displaystyle sigma}$ je předepsaná hodnota pro ${ displaystyle a_ {n-1}}$ a ${ displaystyle a_ {k} in mathbb {R}}$ jsou jinak zvoleny tak, aby odchylka ${ displaystyle Z_ {n} (x)}$ od nuly je v intervalu minimum ${ displaystyle [-1,1]}$.^[1]

Podskupinu Zolotarevových polynomů lze vyjádřit pomocí Čebyševovy polynomy prvního druhu, ${ displaystyle T_ {n} (x)}$. Pro

${ displaystyle 0 leq sigma leq { dfrac {1} {n}} tan ^ {2} { dfrac { pi} {2n}}}$

pak

${ displaystyle Z_ {n} (x, sigma) = (1+ sigma) ^ {n} T_ {n} vlevo ({ frac {x- sigma} {1+ sigma}} vpravo) .}$

Pro hodnoty ${ displaystyle sigma}$ větší než maximum tohoto rozsahu, Zolotarevovy polynomy lze vyjádřit pomocí eliptické funkce. Pro ${ displaystyle sigma = 0}$, Zolotarevův polynom je totožný s ekvivalentním Čebyševovým polynomem. Pro záporné hodnoty ${ displaystyle sigma}$, polynom lze najít z polynomu kladné hodnoty,^[2]

${ displaystyle Z_ {n} (x, - sigma) = (- 1) ^ {n} Z_ {n} (- x, sigma) .}$

Zolotarevův polynom lze pomocí vztahu rozšířit na součet Čebyševových polynomů^[3]

${ displaystyle Z_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} T_ {k} (x) .}$

Zolotarevův polynom 8. stupně (vlevo) a 9. stupně (vpravo).^[4] The X stupnice je označena jako prototyp frekvence, jak by se to stalo při použití polynomu v designu filtru.

Z hlediska Jacobiho eliptických funkcí

Původní řešení problému aproximace dané Zolotarevem bylo z hlediska Jacobiho eliptické funkce. Zolotarev dal obecné řešení, kde počet nul nalevo od vrcholové hodnoty (${ displaystyle q}$) v intervalu ${ displaystyle [-1,1]}$ se nerovná počtu nul napravo od tohoto píku (${ displaystyle p}$). Stupeň polynomu je ${ displaystyle n = p + q}$. Pro mnoho aplikací ${ displaystyle p = q}$ se používá a pouze poté ${ displaystyle n}$ je třeba zvážit. Obecné Zolotarevovy polynomy jsou definovány jako^[5]

${ displaystyle Z_ {n} (x | kappa) = { frac {(-1) ^ {p}} {2}} left [ left ({ dfrac {H (uv)} {H (u + v)}} vpravo) ^ {n} + vlevo ({ dfrac {H (u + v)} {H (uv)}} vpravo) ^ {n} vpravo]}$

kde

${ displaystyle u = F left ( left. operatorname {sn} left ( left.v right | kappa right) { sqrt { dfrac {1 + x} {x + 2 operatorname { sn} ^ {2} left ( left.v right | kappa right) -1}}} right | kappa right)}$

${ displaystyle v = { dfrac {p} {n}} K ( kappa)}$

${ displaystyle H ( varphi)}$ je Jacobi eta funkce

${ displaystyle F ( varphi | kappa)}$ je neúplný eliptický integrál prvního druhu

${ displaystyle K ( kappa)}$ je čtveřice vln kompletní eliptický integrál prvního druhu. To znamená, ${ displaystyle K ( kappa) = F left ( left. { frac { pi} {2}} right | kappa right)}$^[6]

${ displaystyle kappa}$ je Jacobi eliptický modul

${ displaystyle operatorname {sn} ( varphi | kappa)}$ je Jacobi eliptický sinus.

Variace funkce v intervalu [−1,1] je stejná, kromě jednoho píku, který je větší než zbytek. Pozici a šířku tohoto píku lze nastavit nezávisle. Poloha píku je dána vztahem^[7]

${ displaystyle x _ { text {max}} = 1-2 operatorname {sn} ^ {2} (v | kappa) +2 { dfrac { operatorname {sn} (v | kappa) operatorname { cn} (v | kappa)} { operatorname {dn} (v | kappa)}} Z (v | kappa)}$

kde

${ displaystyle operatorname {cn} ( varphi | kappa)}$ je Jacobi eliptický kosinus

${ displaystyle operatorname {dn} ( varphi | kappa)}$ je Jacobiho delta amplituda

${ displaystyle Z ( varphi | kappa)}$ je Funkce Jacobi zeta

${ displaystyle v}$ je definováno výše.

Výška vrcholu je dána vztahem^[8]

${ displaystyle Z_ {n} (x _ { text {max}} | kappa) = cosh 2n { bigl (} sigma _ { text {max}} Z (v | kappa) - varPi ( sigma _ { text {max}}, v | kappa) { bigr)}}$

kde

${ displaystyle varPi ( phi _ {1}, phi _ {2} | kappa)}$ je neúplný eliptický integrál třetího druhu

${ displaystyle sigma _ { text {max}} = F left ( left. sin ^ {- 1} left ({ dfrac {1} { kappa operatorname {sn} (v | kappa )}} { sqrt { dfrac {x _ { text {max}} - x _ { mathrm {L}}} {x _ { text {max}} + 1}}} vpravo) vpravo | kappa že jo)}$

${ displaystyle x _ { mathrm {L}}}$ je poloha na levé končetině vrcholu, která je ve stejné výšce jako vrcholy equiripple.

Jacobi eta funkce

Funkci Jacobi eta lze definovat pomocí a Jacobi pomocná funkce theta,^[9]

${ displaystyle H ( varphi | kappa) = theta _ {1} (a | b)}$

kde,

${ displaystyle a = { frac { pi varphi} {2K '( kappa)}}}$

${ displaystyle b = exp left (- { frac { pi K '( kappa)} {K ( kappa)}} vpravo)}$

${ displaystyle K '( kappa) = K ({ sqrt {1- kappa ^ {2}}}) .}$^[10]

Aplikace

Polynomy byly zavedeny pomocí Jegor Ivanovič Zolotarev v roce 1868 jako prostředek jednotné aproximace polynomů stupně ${ displaystyle x ^ {n + 1}}$ na intervalu [−1,1]. Pafnuty Čebyšev to v roce 1858 ukázal ${ displaystyle x ^ {n + 1}}$ lze v tomto intervalu aproximovat nanejvýš polynomem stupně ${ displaystyle n}$ s chybou ${ displaystyle 2 ^ {- n}}$. V roce 1868 to Zolotarev ukázal ${ displaystyle x ^ {n + 1} - sigma x ^ {n}}$ lze aproximovat nanejvýš polynomem stupně ${ displaystyle n-1}$, o dva stupně nižší. Chyba v Zolotarevově metodě je dána,^[11]

${ displaystyle 2 ^ {- n} left ({ dfrac {1+ sigma} {1 + n}} right) ^ {n + 1} .}$

Postup dále rozvinul Naum Achieser v roce 1956.^[12]

Zolotarevovy polynomy se používají při návrhu Filtry Achieser-Zolotarev. Poprvé byly v této roli použity v roce 1970 Ralphem Levym při navrhování mikrovlnné trouby vlnovodové filtry.^[13] Filtry Achieser-Zolotarev jsou podobné Čebyševovy filtry v tom, že mají stejný zvlněný útlum skrz propustné pásmo kromě toho, že útlum přesahuje přednastavené zvlnění píku nejblíže počátku.^[14]

Zolotarevovy polynomy lze použít k syntéze radiační vzorce lineární anténní pole, nejprve navrhl D.A. McNamara v roce 1985. Práce byla založena na aplikaci filtru s použitím paprsku jako proměnné místo frekvence. Vzor paprsku Zolotarev má postranní laloky stejné úrovně.^[15]

Reference

Bibliografie

• Achieser, Naum Hymnan, C.J. (trans), Teorie aproximace, New York: Frederick Ungar Publishing, 1956. Dotisk Doveru 2013 ISBN  0486495434.
• Beebe, Nelson H.F., Příručka pro výpočet matematických funkcí, Springer, 2017 ISBN  3319641107.
• Cameron, Richard J .; Kudsia, Chandra M .; Mansour, Raafat R., Mikrovlnné filtry pro komunikační systémy, John Wiley & Sons, 2018 ISBN  1118274342.
• Hansen, Robert C., Fázované antény, Wiley, 2009 ISBN  0470529172.
• McNamara, D.A., "Optimální monopulsní lineární buzení pomocí Zolotarevových polynomů", Elektron, sv. 21, iss. 16, s. 681–682, srpen 1985.
• Newman, D.J., Reddy, A.R., "Racionální aproximace ${ displaystyle x ^ {n}}$ II ", Kanadský žurnál matematiky, sv. 32, č. 2, s. 310–316, duben 1980.
• Pinkus, Allan, „Zolotarevovy polynomy“, in, Hazewinkel, Michiel (ed), Encyklopedie matematiky, dodatek IIISpringer Science & Business Media, 2001 ISBN  1402001983.
• Vlček, Miroslav, Unbehauen, Rolf, "Zolotarevovy polynomy a optimální FIR filtry", Transakce IEEE při zpracování signálu, sv. 47, iss. 3, s. 717–730, březen 1999 (opravy Července 2000).
• Zahradník, Pavel; Vlček, Miroslav, „Analytický návrh 2-D úzkopásmových FIR filtrů“, s. 56–63 v, Výpočetní věda - ICCS 2004: Sborník ze 4. mezinárodní konference, Bubak, Marian; van Albada, Geert D .; Sloot, Peter M.A .; Dongarra, Jack (eds), Springer Science & Business Media, 2004 ISBN  3540221298.