Bilineární rozdělení času a frekvence - Bilinear time–frequency distribution

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (listopad 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Bilineární distribuce času a frekvencenebo kvadratické rozdělení času a frekvence, vznikají v sub-poli analýza signálu a zpracování signálu volala zpracování časově-frekvenčního signálu, a v Statistická analýza z časové řady data. Takové metody se používají tam, kde je třeba se vypořádat se situací, kdy se frekvenční složení signálu může časem měnit;^[1] toto podpole se dříve nazývalo analýza času a frekvence signálu a nyní se častěji nazývá zpracování času a frekvence signálu kvůli pokroku v používání těchto metod k široké škále problémů se zpracováním signálu.

Pozadí

Metody pro analýzu časové řady, v obou analýza signálu a analýza časových řad, byly vyvinuty jako v zásadě samostatné metodiky použitelné pro a založené na čas nebo frekvenční doména. V EU je vyžadován smíšený přístup časově-frekvenční analýza techniky, které jsou zvláště účinné při analýze nestacionárních signálů, jejichž frekvenční rozložení a velikost se mění s časem. Příkladem jsou akustický signály. Pro analýzu časově-frekvenčních signálů se používají třídy „kvadratických časově-frekvenčních distribucí“ (nebo bilineárních časově-frekvenčních distribucí). Tato třída má podobné složení jako Cohenova distribuční funkce tříd, která byla použita v roce 1966 v kontextu kvantové mechaniky. Tento distribuční funkce je matematicky podobný generalizovanému časově-frekvenční reprezentace který využívá bilineární transformace. Ve srovnání s ostatními časově-frekvenční analýza techniky, jako např krátkodobá Fourierova transformace (STFT), bilineární transformace (neboli kvadratické časově-frekvenční distribuce) nemusí mít vyšší jasnost pro většinu praktických signálů, ale poskytuje alternativní rámec pro zkoumání nových definic a nových metod. Přestože při analýze vícesložkových signálů trpí vrozenou křížovou kontaminací, používá pečlivě zvolené funkce okna rušení lze významně zmírnit na úkor rozlišení. Všechny tyto bilineární distribuce jsou vzájemně směnitelné, srov. transformace mezi distribucemi v časově-frekvenční analýze.

Distribuce Wigner – Ville

Distribuce Wigner – Ville je kvadratická forma, která měří lokální časově-frekvenční energii danou:

${displaystyle P_ {V} f (u, xi) = int _ {- infty} ^ {infty} fleft (u + {frac {au} {2}} ight) f ^ {*} vlevo (u- {frac {au } {2}} ight) e ^ {- i au xi}, d au}$

Distribuce Wigner – Ville zůstává skutečná, protože se jedná o Fourierovu transformaci F(u + τ/2)·F*(u − τ/ 2), který má hermitovskou symetrii τ. Lze jej také zapsat jako integraci kmitočtu použitím Parsevalova vzorce:

${displaystyle P_ {V} f (u, xi) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} {hat {f}} vlevo (xi + {frac {gamma} {2} } ight) {hat {f}} ^ {*} vlevo (xi - {frac {gamma} {2}} ight) e ^ {igamma u}, dgamma}$

Tvrzení 1. pro všechny F v L.²(R)

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} P_ {V} f (u, xi), du = | {hat {f}} (xi) | ^ {2}}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} P_ {V} f (u, xi), dxi = 2pi | f (u) | ^ {2}}$

Moyalova věta. Pro F a G v L.²(R),

${displaystyle 2pi left | int _ {- infty} ^ {infty} f (t) g ^ {*} (t), dtight | ^ {2} = iint {P_ {V} f (u, xi)} P_ { V} g (u, xi), du, dxi}$

Návrh 2 (časově-frekvenční podpora). Li F má kompaktní podporu, tedy pro všechny ξ podpora ${displaystyle P_ {V} f (u, xi)}$ podél u se rovná podpoře F. Podobně, pokud ${displaystyle {hat {f}}}$ má kompaktní podporu, tedy pro všechny u podpora ${displaystyle P_ {V} f (u, xi)}$ podél ξ se rovná podpoře ${displaystyle {hat {f}}}$.

Návrh 3 (okamžitá frekvence). Li ${displaystyle f_ {a} (t) = a (t) e ^ {iphi (t)}}$ pak

${displaystyle phi '(u) = {frac {int _ {- infty} ^ {infty} xi P_ {V} f_ {a} (u, xi) dxi} {int _ {- infty} ^ {infty} P_ { V} f_ {a} (u, xi) dxi}}}$

Rušení

Nechat ${displaystyle f = f_ {1} + f_ {2}}$ být složený signál. Pak můžeme napsat,

${displaystyle P_ {V} f = P_ {V} f_ {1} + P_ {V} f_ {2} + P_ {V} vlevo [f_ {1}, f_ {2} vpravo] + P_ {V} vlevo [ f_ {2}, f_ {1} ight]}$

kde

${displaystyle P_ {V} [h, g] (u, xi) = int _ {- infty} ^ {infty} hleft (u + {frac {au} {2}} ight) g ^ {*} vlevo (u- {frac {au} {2}} ight) e ^ {- i au xi} d au}$

je křížové Wigner – Villeovo rozdělení dvou signálů. Termín interference

${displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}] = P_ {V} [f_ {1}, f_ {2}] + P_ {V} [f_ {2}, f_ {1}]}$

je skutečná funkce, která vytváří nenulové hodnoty na neočekávaných místech (blízko původu) v ${displaystyle (u, xi)}$ letadlo. Interferenčním podmínkám přítomným ve skutečném signálu lze zabránit výpočtem analytické části ${displaystyle f_ {a} (t)}$.

Pozitivita a vyhlazovací jádro

Termíny interference jsou oscilační, protože okrajové integrály zmizí a lze je částečně odstranit vyhlazením ${displaystyle P_ {V} f}$ s jádremθ

${displaystyle P_ {heta} f (u, xi) = int _ {- infty} ^ {infty} {int _ {- infty} ^ {infty} {P_ {V} f (u ', xi')}} heta (u, u ', xi, xi'), u ', dxi'}$

Časově-frekvenční rozlišení této distribuce závisí na šíření jádra θ v sousedství ${displaystyle (u, xi)}$. Protože interference mají záporné hodnoty, lze zaručit, že budou odstraněny všechny interference

${displaystyle P_ {heta} f (u, xi) geq 0, qquad forall (u, xi) v {{mathbf {R}} ^ {2}}}$

Spektrogram a scalogram jsou příklady pozitivních časově-frekvenčních distribucí energie. Nechte lineární transformaci ${displaystyle Tf (gamma) = leftlangle f, phi _ {gamma} ightangle}$ být definovány přes rodinu časově-frekvenčních atomů ${displaystyle left {phi _ {gamma} ight} _ {gamma in Gamma}}$. Pro všechny ${displaystyle (u, xi)}$ existuje jedinečný atom ${displaystyle phi _ {gamma (u, xi)}}$ soustředěný v časové frekvenci na ${displaystyle (u, xi)}$. Výsledná časově-frekvenční hustota energie je

${displaystyle P_ {T} f (u, xi) = left | leftlangle f, phi _ {gamma (u, xi)} ightangle ight | ^ {2}}$

Z Moyal vzorce

${displaystyle P_ {T} f (u, xi) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} P_ {V} f (u ' , xi ') P_ {V} phi _ {gamma (u, xi)} (u', xi '), du', dxi '}$

což je průměrování časové frekvence distribuce Wigner – Ville. Vyhlazovací jádro lze tedy zapsat jako

${displaystyle heta (u, u ', xi, xi') = {frac {1} {2pi}} P_ {V} phi _ {gamma (u, xi)} (u ', xi')}$

Ztráta časově-frekvenčního rozlišení závisí na šíření distribuce ${displaystyle P_ {V} phi _ {gamma (u, xi)} (u ', xi')}$ v sousedství ${displaystyle (u, xi)}$.

Příklad 1

Spektrogram vypočítaný s okénkovými Fourierovými atomy,

${displaystyle phi _ {gamma (u, xi)} (t) = g (t-u) e ^ {ixi t}}$

${displaystyle heta (u, u ', xi, xi') = {frac {1} {2pi}} P_ {V} phi _ {gamma (u, xi)} (u ', xi') = {frac {1 } {2pi}} P_ {V} g (u'-u, xi '-xi)}$

Pro spektrogram je tedy průměrování Wigner – Ville 2-dimenzionální konvolucí ${displaystyle P_ {V} g}$. Pokud g je Gaussovo okno,${displaystyle P_ {V} g}$ je 2-dimenzionální Gaussian. To dokazuje toto průměrování ${displaystyle P_ {V} f}$ s dostatečně širokým Gaussianem definuje hustotu pozitivní energie. Obecná třída časově-frekvenčních distribucí získaných konvolucí ${displaystyle P_ {V} f}$ s libovolným jádrem θ se nazývá Cohenova třída, popsaná níže.

Wignerova věta. Neexistuje žádná kladná kvadratická distribuce energie Pf který splňuje následující časové a frekvenční mezní integrály:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} Pf (u, xi), dxi = 2pi | f (u) | ^ {2}}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} Pf (u, xi), du = | {hat {f}} (xi) | ^ {2}}$

Matematická definice

Definice Cohenovy třídy bilineárních (neboli kvadratických) časově-frekvenčních distribucí je následující:

${displaystyle C_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} A_ {x} (eta, au) Phi (eta, au) exp (j2pi (eta t- au f)), deta, d au,}$

kde ${displaystyle A_ {x} (eta, au)}$ je funkce nejednoznačnosti (AF), o kterém bude pojednáno později; a ${displaystyle Phi (eta, au)}$ je Cohen funkce jádra, což je často nízkoprůchodová funkce a obvykle slouží k maskování rušení. V původním Wignerově znázornění ${displaystyle Phi equiv 1}$.

Ekvivalentní definice se opírá o konvoluci Funkce distribuce signatářů (WD) namísto AF:

${displaystyle C_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} (heta, u) Pi (t- heta, fu), d heta, du = [W_ {x} ast Pi] (t, f)}$

kde je funkce jádra ${displaystyle Pi (t, f)}$ je definován v časově-frekvenční doméně místo v nejednoznačnosti. V původním Wignerově znázornění ${displaystyle Pi = delta _ {(0,0)}}$. Vztah mezi těmito dvěma jádry je stejný jako vztah mezi WD a AF, konkrétně dvě po sobě jdoucí Fourierovy transformace (srov. Diagram).

${displaystyle Phi = {mathcal {F}} _ {t} {mathcal {F}} _ {f} ^ {- 1} Pi}$

tj.

${displaystyle Phi (eta, au) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} Pi (t, f) exp (-j2pi (teta -f au)), dt, df ,}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle Pi (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} Phi (eta, au) exp (j2pi (eta t- au f)), deta, d au.}$

Funkce dvojznačnosti

Třídu bilineárních (neboli kvadratických) časově-frekvenčních distribucí lze nejsnadněji pochopit z hlediska funkce nejednoznačnosti, jehož vysvětlení následuje.

Zvažte dobře známé výkonová spektrální hustota ${displaystyle P_ {x} (f)}$ a signál autokorelace funkce ${displaystyle R_ {x} (au)}$ v případě stacionárního procesu. Vztah mezi těmito funkcemi je následující:

${displaystyle P_ {x} (f) = int _ {- infty} ^ {infty} R_ {x} (au) e ^ {- j2pi f au}, d au,}$

${displaystyle R_ {x} (au) = int _ {- infty} ^ {infty} xleft (t + {frac {au} {2}} ight) x ^ {*} vlevo (t- {frac {au} {2 }} hned), dt.}$

Pro nestacionární signál ${displaystyle x (t)}$, tyto vztahy lze zobecnit pomocí časově závislé výkonové spektrální hustoty nebo ekvivalentně slavné Funkce distribuce signatářů z ${displaystyle x (t)}$ jak následuje:

${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} R_ {x} (t, au) e ^ {- j2pi f au}, d au,}$

${displaystyle R_ {x} (t, au) = xleft (t + {frac {au} {2}} vpravo) x ^ {*} doleva (t- {frac {au} {2}} vpravo).}$

Pokud Fourierova transformace funkce autokorelace se bere s ohledem na t namísto τ, dostaneme funkci nejednoznačnosti následovně:

${displaystyle A_ {x} (eta, au) = int _ {- infty} ^ {infty} xleft (t + {frac {au} {2}} ight) x ^ {*} vlevo (t- {frac {au} {2}} ight) e ^ {j2pi teta}, dt.}$

Vztah mezi distribuční funkcí Wigner, funkcí automatické korelace a funkcí nejednoznačnosti lze poté ilustrovat na následujícím obrázku.

Porovnáním definice bilineárních (neboli kvadratických) časově-frekvenčních distribucí s definicí Wignerovy distribuční funkce lze snadno zjistit, že druhá je zvláštním případem první s ${displaystyle Phi (eta, au) = 1}$. Alternativně lze bilineární (nebo kvadratické) časově-frekvenční distribuce považovat za maskovanou verzi distribuční funkce Wigner, pokud je funkce jádra ${displaystyle Phi (eta, au) ekv. 1}$ je vybrán. Správně zvolená funkce jádra může významně snížit nežádoucí křížový průběh distribuční funkce Wigner.

Jaká je výhoda další funkce jádra? Následující obrázek ukazuje distribuci automatického termínu a cross termínu vícesložkového signálu jak v nejednoznačnosti, tak ve Wignerově distribuční funkci.

U vícesložkových signálů obecně není distribuce jeho automatického termínu a cross-termu v rámci jeho Wignerovy distribuční funkce obecně předvídatelná, a proto nelze cross-term snadno odstranit. Jak je však znázorněno na obrázku, pro funkci nejednoznačnosti bude mít automatický termín vícesložkového signálu inherentně tendenci uzavřít počátek v ητ-rovina a příčný termín bude mít tendenci být od původu. Díky této vlastnosti lze křížový termín in snadno odfiltrovat, pokud je v něm použita správná funkce low-pass jádra ητ-doména. Následuje příklad, který ukazuje, jak je filtrován křížový výraz.

Vlastnosti jádra

Fourierova transformace ${displaystyle heta (u, xi)}$ je

${displaystyle {hat {heta}} (au, gamma) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} heta (u, xi) e ^ {- i (ugamma + xi au )}, du, dxi}$

Následující návrh uvádí nezbytné a dostatečné podmínky k zajištění toho ${displaystyle P_ {heta}}$ uspokojuje okrajové energetické vlastnosti jako vlastnosti distribuce Wigner – Ville.

Tvrzení: Mezní energetické vlastnosti

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} P_ {heta} f (u, xi), dxi = 2pi | f (u) | ^ {2},}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} P_ {heta} f (u, xi), du = | {hat {f}} (xi) | ^ {2}}$

jsou spokojeni pro všechny ${displaystyle fin L ^ {2} (mathbf {R})}$ kdyby a jen kdyby

${displaystyle forall (au, gamma) in mathbf {R} ^ {2}: qquad {hat {heta}} (au, 0) = {hat {heta}} (0, gamma) = 1}$

Některá časově-frekvenční rozdělení

Funkce distribuce signatářů

Výše uvedené, distribuční funkce Wigner je členem třídy kvadratických časově-frekvenčních distribucí (QTFD) s funkcí jádra ${displaystyle Phi (eta, au) = 1}$. Definice distribuce Wigner je následující:

${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} xleft (t + {frac {au} {2}} ight) x ^ {*} vlevo (t- {frac {au} {2}} ight) e ^ {- j2pi f au}, d au.}$

Upravené distribuční funkce Wigner

Afinní invariance

Můžeme navrhnout časově-frekvenční distribuce energie, které uspokojí vlastnost škálování

${displaystyle {frac {1} {sqrt {s}}} fleft ({frac {t} {s}} ight) longleftrightarrow P_ {V} fleft ({frac {u} {s}}, sxi ight)}$

stejně jako distribuce Wigner – Ville. Li

${displaystyle g (t) = {frac {1} {sqrt {s}}} fleft ({frac {t} {s}} ight)}$

pak

${displaystyle P_ {heta} g (u, xi) = P_ {heta} fleft ({frac {u} {s}}, sxi ight).}$

To se rovná zavedení

${displaystyle forall sin mathbf {R} ^ {+}: qquad heta left (su, {frac {xi} {s}} ight) = heta (u, xi),}$

a tudíž

${displaystyle heta (u, xi) = heta (uxi, 1) = eta (uxi)}$

Distribuce Rihaczek a Choi – Williams jsou příklady afinních invariantních Cohenových třídních distribucí.

Choi – Williamsova distribuční funkce

Jádro Distribuce Choi – Williams je definována takto:

${displaystyle Phi (eta, au) = exp (-alpha (eta au) ^ {2}),}$

kde α je nastavitelný parametr.

Funkce distribuce Rihaczek

Jádro Rihaczekova distribuce je definována takto:

${displaystyle Phi (eta, au) = exp left (-i2pi {frac {eta au} {2}} ight),}$

U tohoto konkrétního jádra to jednoduchý výpočet dokazuje

${displaystyle C_ {x} (t, f) = x (t) {hat {x}} ^ {*} (f) e ^ {i2pi tf}}$

Funkce distribuce tvaru kužele

Funkce distribuce jádra tvaru kužele je definována takto:

${displaystyle Phi (eta, au) = {frac {sin (pi eta au)} {pi eta au}} exp vlevo (-2pi alfa au ^ {2} ight),}$

kde α je nastavitelný parametr. Vidět Transformace mezi distribucemi v časově-frekvenční analýze. Více takových QTFD a úplný seznam lze nalézt například v Cohenově citovaném textu.

Spektrum nestacionárních procesů

Časově proměnné spektrum pro nestacionární procesy je definováno z očekávané distribuce Wigner – Ville. Lokálně se vyskytují stacionární procesy v mnoha fyzických systémech, kde náhodné výkyvy produkuje mechanismus, který se v čase mění pomalu. Takové procesy lze lokálně aproximovat stacionárním procesem. Nechat ${displaystyle X (t)}$ být procesem s nulovou střední hodnotou a kovariancí

${displaystyle R (t, s) = E [X (t) X (s)]}$

Operátor kovariance K. je definován pro jakýkoli deterministický signál ${displaystyle fin L ^ {2} (mathbf {R})}$ podle

${displaystyle Kf (t) = int _ {- infty} ^ {infty} R (t, s) f (s), ds}$

Pro lokálně stacionární procesy vlastní vektory K. jsou dobře aproximovány spektrem Wigner – Ville.

Spektrum Wigner – Ville

Vlastnosti kovariance ${displaystyle R (t, s)}$ jsou studovány jako funkce ${displaystyle au = t-s}$ a ${displaystyle u = {frac {t + s} {2}}}$:

${displaystyle R (t, s) = Rleft (u + {frac {au} {2}}, u- {frac {au} {2}} ight) = C (u, au)}$

Proces je širokoúhlý stacionární pokud kovariance závisí pouze na ${displaystyle au = t-s}$:

${displaystyle Kf (t) = int _ {- infty} ^ {infty} C (t-s) f (s), ds = C * f (t)}$

Vlastní vektory jsou komplexní exponenciály ${displaystyle e ^ {iomega t}}$ a odpovídající vlastní čísla jsou dána výkonovým spektrem

${displaystyle P_ {X} (omega) = int _ {- infty} ^ {infty} C (au) e ^ {- iomega au}, d au}$

Pro nestacionární procesy zavedli Martin a Flandrin a časově proměnné spektrum

${displaystyle P_ {X} (u, xi) = int _ {- infty} ^ {infty} C (u, au) e ^ {- ixi au}, d au = int _ {- infty} ^ {infty} Eleft [Xleft (u + {frac {au} {2}} ight) Xleft (u- {frac {au} {2}} ight) ight] e ^ {- ixi au}, d au}$

Abychom se vyhnuli problémům s konvergencí, předpokládáme to X má kompaktní podporu, takže ${displaystyle C (u, au)}$ má kompaktní podporu v ${displaystyle au}$. Z výše uvedeného můžeme psát

${displaystyle P_ {X} (u, xi) = E [P_ {V} X (u, xi)]}$

což dokazuje, že časově proměnné spektrum je očekávanou hodnotou Wigner-Villeovy transformace procesu X. Zde je stochastický integrál Wigner – Ville interpretován jako střední kvadratický integrál:^[2]

${displaystyle P_ {V} (u, xi) = int _ {- infty} ^ {infty} left {Xleft (u + {frac {au} {2}} ight) Xleft (u- {frac {au} {2} } ight) ight} e ^ {- ixi au}, d au}$

Reference

• L. Cohen, časově-frekvenční analýza, Prentice-Hall, New York, 1995. ISBN  978-0135945322
• B. Boashash, editor, „Time-Frequency Signal Analysis and Processing - A Comprehensive Reference“, Elsevier Science, Oxford, 2003.
• L. Cohen, „Časově-frekvenční distribuce - přehled“, Sborník IEEE, sv. 77, č. 7, str. 941–981, 1989.
• S. Qian a D. Chen, Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications, Chap. 5, Prentice Hall, NJ, 1996.
• H. Choi a W. J. Williams, „Vylepšená časově-frekvenční reprezentace vícesložkových signálů pomocí exponenciálních jader,“ IEEE. Trans. Akustika, řeč, zpracování signálu, sv. 37, č. 6, str. 862–871, červen 1989.
• Y. Zhao, L. E. Atlas a R. J. Marks, „Použití jader ve tvaru kužele pro generalizovanou časově-frekvenční reprezentaci nestacionárních signálů,“ IEEE Trans. Akustika, řeč, zpracování signálu, sv. 38, č. 7, s. 1084–1091, červenec 1990.
• B. Boashash, „Heuristická formulace časově-frekvenčních distribucí“, kapitola 2, str. 29–58, B. Boashash, editor, Analýza a zpracování časově-frekvenčních signálů: Komplexní reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.
• B. Boashash, „Teorie kvadratických TFD“, kapitola 3, s. 59–82, B. Boashash, editor, Analýza a zpracování časově-frekvenčních signálů: Komplexní reference, Elsevier, Oxford, 2003.