Konformní rozměr - Conformal dimension

V matematice je konformní rozměr a metrický prostor X je infimum z Hausdorffova dimenze přes konformní měřidlo z X, tj. třída všech metrických prostorů quasisymmetric naX.^[1]

Formální definice

Nechat X být metrickým prostorem a ${displaystyle {mathcal {G}}}$ být souborem všech metrických prostorů, které jsou kvazimetrickéX. Konformní rozměr X je definován jako takový

${displaystyle mathrm {Cdim} X = inf _ {Yin {mathcal {G}}} slabý _ {H} Y}$

Vlastnosti

Máme následující nerovnosti, pro metrický prostorX:

${displaystyle dim _ {T} Xleq mathrm {Cdim} Xleq dim _ {H} X}$

Druhá nerovnost je podle definice pravdivá. První je odvozen ze skutečnosti, že topologická dimenze T je invariantní homeomorfismus, a lze jej tedy definovat jako infimum z Hausdorffova dimenze přes všechny prostory homeomorfní naX.

Příklady

• Konformní rozměr ${displaystyle mathbf {R} ^ {N}}$ je N, protože topologické a Hausdorffovy rozměry Euklidovské prostory souhlasit.
• The Cantor set K. má nulovou konformní dimenzi. Neexistuje však žádný metrický prostor quasisymmetric K. s 0 Hausdorffovou dimenzí.

Viz také

• Anomální rozměr měřítka

Reference