Slabá Hopfova algebra - Weak Hopf algebra

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Prosinec 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, slabé bialgebry jsou zobecněním bialgebry to jsou algebry i uhelné uhlí, ale u nichž byly „oslabeny“ podmínky kompatibility mezi těmito dvěma strukturami. Ve stejném duchu slabé Hopfovy algebry jsou slabé bialgebry spolu s a lineární mapa S splňující specifické podmínky; jsou to zobecnění Hopfovy algebry.

Tyto objekty představili Böhm, Nill a Szlachányi. První motivace pro jejich studium pocházela z kvantová teorie pole a operátorské algebry.^[1] Slabé Hopfovy algebry mají docela zajímavou teorii reprezentace; zejména moduly nad polojednodušou konečnou slabou Hopfovou algebrou je a kategorie fúze (což je monoidní kategorie s extra vlastnostmi). Etingof, Nikshych a Ostrik také ukázali, že jakákoli kategorie fúze je ekvivalentní kategorii modulů nad slabou Hopfovou algebrou.^[2]

Definice

A slabá bialgebra ${ displaystyle (H, mu, eta, Delta, varepsilon)}$ přes pole ${ displaystyle k}$ je vektorový prostor ${ displaystyle H}$ takhle

• ${ displaystyle (H, mu, eta)}$ tvoří asociativní algebra s množením ${ displaystyle mu: H otimes H rightarrow H}$ a jednotka ${ displaystyle eta: k rightarrow H}$,
• ${ displaystyle (H, Delta, varepsilon)}$ tvoří koassociativní uhlígebra s komplikací ${ displaystyle Delta: H rightarrow H otimes H}$ a počítat ${ displaystyle varepsilon: H rightarrow k}$,

pro které platí následující podmínky kompatibility:

1. Multiplikativnost kombinování:

   ${ displaystyle Delta circ mu = ( mu otimes mu) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes sigma _ {H, H} otimes mathrm {id} _ {H }) circ ( Delta otimes Delta)}$,

2. Slabá multiplikativita Counit:

   ${ displaystyle varepsilon circ mu circ ( mu otimes mathrm {id} _ {H}) = ( varepsilon otimes varepsilon) circ ( mu otimes mu) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes Delta otimes mathrm {id} _ {H}) = ( varepsilon otimes varepsilon) circ ( mu otimes mu) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes Delta ^ {op} otimes mathrm {id} _ {H})}$,

3. Slabá univerzálnost jednotky:

   ${ displaystyle ( Delta otimes mathrm {id} _ {H}) circ Delta circ eta = ( mathrm {id} _ {H} otimes mu otimes mathrm {id} _ { H}) circ ( Delta otimes Delta) circ ( eta otimes eta) = ( mathrm {id} _ {H} otimes mu ^ {op} otimes mathrm {id} _ {H}) circ ( Delta otimes Delta) circ ( eta otimes eta)}$,

kde ${ displaystyle sigma _ {V, W}: V otimes W rightarrow W otimes V: v otimes w mapsto w otimes v}$ převrátí dva tenzorové faktory. navíc ${ displaystyle mu ^ {op} = mu circ sigma _ {H, H}}$ je opačné násobení a ${ displaystyle Delta ^ {op} = sigma _ {H, H} circ Delta}$ je opačný comultiplication. Všimněte si, že také implicitně používáme Mac Lane Věta o koherenci pro monoidní kategorii vektorových prostorů, identifikace ${ displaystyle (U otimes V) otimes W cong U otimes (V otimes W)}$ stejně jako ${ displaystyle V otimes k cong V cong k otimes V}$.

Definice je zcela vysvětlující, je vidět, že oslabuje kompatibilita mezi strukturami algebry a uhlígebry.

A slabá Hopfova algebra ${ displaystyle (H, mu, eta, Delta, varepsilon, S)}$ je slabá bialgebra ${ displaystyle (H, mu, eta, Delta, varepsilon)}$ s lineární mapou ${ displaystyle S: H až H}$, volal antipod, který splňuje:

• ${ displaystyle mu circ ( mathrm {id} _ {H} otimes S) circ Delta = ( varepsilon otimes mathrm {id} _ {H}) circ ( mu otimes mathrm {id} _ {H}) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes sigma _ {H, H}) circ ( Delta otimes mathrm {id} _ {H}) circ ( eta otimes mathrm {id} _ {H})}$,
• ${ displaystyle mu circ (S otimes mathrm {id} _ {H}) circ Delta = ( mathrm {id} _ {H} otimes varepsilon) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes mu) circ ( sigma _ {H, H} otimes mathrm {id} _ {H}) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes Delta) circ ( mathrm {id} _ {H} otimes eta)}$,
• ${ displaystyle S = mu circ ( mu otimes mathrm {id} _ {H}) circ (S otimes mathrm {id} _ {H} otimes S) circ ( Delta otimes mathrm {id} _ {H}) circ Delta}$.

Příklady

1. Hopfova algebra. Samozřejmě jakékoli Hopfova algebra je slabá Hopfova algebra.
2. Groupoidní algebra. Předpokládat ${ displaystyle G = (G_ {0}, G_ {1})}$ je grupoid a nechte ${ displaystyle K [G]}$ být grupoidní algebra, jinými slovy algebra generovaná morfismy ${ displaystyle g v G_ {1}}$. Pokud to definujeme, stane se to slabá Hopfova algebra
   • ${ displaystyle mu: K [G] otimes K [G] až K [G] ~ { text {by}} ~ mu (g otimes h) = left {{ begin {pole} {cl} g circ h & { text {if target (h) = source (g)}} 0 & { text {else}} end {array}} right.}$
   • ${ displaystyle eta: k to K [G] ~ { text {by}} ~ eta (1) = součet _ {X v G_ {0}} mathrm {id} _ {X}}$
   • ${ displaystyle Delta: K [G] až K [G] otimes K [G] ~ { text {by}} ~ Delta (g) = g otimes g ~ { text {pro všechny}} ~ g v G_ {1}}$
   • ${ displaystyle varepsilon: K [G] to k ~ { text {by}} ~ varepsilon (g) = 1 ~ { text {pro všechny}} ~ g v G_ {1}}$
   • ${ displaystyle S: K [G] až K [G] ~ { text {by}} ~ S (g) = g ^ {- 1} ~ { text {pro všechny}} ~ g v G_ { 1}}$.

Všimněte si, že tento druhý příklad je slabá Hopfova algebra, ale ne A Hopfova algebra.

Teorie reprezentace

Nechť H je polojednoduchá konečná slabá Hopfova algebra, pak moduly nad H vytvoří polojednodušou tuhou monoidní kategorii s konečně mnoha jednoduchými objekty. Kromě toho jsou homomorfismy prostorem konečných trojrozměrných vektorových prostorů a prostor endomorfismů jednoduchých objektů je jednorozměrný. A konečně, monoidní jednotka je jednoduchý objekt. Taková kategorie se nazývá a kategorie fúze.

Je možné ukázat, že některé kategorie monoidů nejsou moduly nad Hopfovou algebrou. V případě fúzních kategorií (což jsou pouze monoidní kategorie s extra podmínkami) Etingof, Nikshych a Ostrik prokázali, že jakákoli fúzní kategorie je ekvivalentní kategorii modulů nad slabou Hopfovou algebrou.

Poznámky

Reference

• Böhm, Gabriella; Nill, Florian; Szlachányi, Kornel (1999). „Slabé Hopfovy algebry. I. Integrální teorie a ${ displaystyle C ^ {*}}$-struktura". Journal of Algebra. 221 (2): 385–438. doi:10.1006 / jabr.1999.7984.

• Etingof, Pavel; Nikshych, Dimitri; Ostrik, Viktor (2005). Msgstr "Kategorie fúze". Annals of Mathematics. Druhá série. 162 (2): 581–642. arXiv:matematika / 0203060. doi:10.4007 / annals.2005.162.581.

• Karaali, Gizem (2008). „Na Hopfovy algebry a jejich zobecnění“. Komunikace v algebře. 36 (12): 4341–4367. arXiv:matematika / 0703441. doi:10.1080/00927870802182424.