Wattsova křivka - Watts curve - Wikipedia

Wattova křivka s parametry a = 2,1, b = 2,2 a c = 0,6

Wattova křivka s parametry a = 3,1, b = 1,1 a c = 3,0

Wattova křivka s parametry a = 1, b =${ displaystyle { sqrt {2}}}$, a c = 1

V matematice Wattova křivka je trojkruhový rovinová algebraická křivka z stupeň šest. Je generován dvěma kruhy o poloměru b s osovou vzdáleností 2A od sebe (považováno za (±A, 0). Úsečka o délce 2C připojí k bodu na každém z kružnic a střed úsečky vysleduje wattovou křivku, protože kruhy se otáčejí částečně tam a zpět nebo úplně kolem. Vzniklo v souvislosti s James Watt průkopnická práce na parním stroji.

Rovnici křivky lze uvést v polární souřadnice tak jako

${ displaystyle r ^ {2} = b ^ {2} - vlevo [a sin theta pm { sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta}} right] ^ {2}.}$

Derivace

Polární souřadnice

Polární rovnici pro křivku lze odvodit následovně:^[1]Práce v složité letadlo, nechte středy kruhů A a - aa spojovací segment mají koncové body na - a+být^{i λ} a A+být^{i ρ}. Nechte úhel sklonu segmentu ψ s jeho středem v re^{i θ}. Koncové body jsou pak dány také re^{i θ} ± ce^{i ψ}. Nastavení výrazů pro stejné body se navzájem rovná

${ displaystyle a + be ^ {i rho} = re ^ {i theta} + ce ^ {i psi}. ,}$

${ displaystyle -a + be ^ {i lambda} = re ^ {i theta} -ce ^ {i psi} ,}$

Přidejte tyto a vydělte dvěma, abyste získali

${ displaystyle re ^ {i theta} = { tfrac {b} {2}} (e ^ {i rho} + e ^ {i lambda}) = b cos ({ tfrac { rho - lambda} {2}}) e ^ {i { tfrac { rho + lambda} {2}}}.}$

Porovnání poloměrů a argumentů dává

${ displaystyle r = b cos alpha, theta = { tfrac { rho + lambda} {2}} { mbox {kde}} alpha = { tfrac { rho - lambda } {2}}.}$

Podobně odčítání prvních dvou rovnic a dělení 2 dává

${ displaystyle ce ^ {i psi} -a = { tfrac {b} {2}} (e ^ {i rho} -e ^ {i lambda}) = ib sin alpha e ^ {i theta}.}$

Psát si

${ displaystyle a = a cos theta e ^ {i theta} -ia sin theta e ^ {i theta}. ,}$

Pak

${ displaystyle ce ^ {i psi} = ib sin alpha e ^ {i theta} + a cos theta e ^ {i theta} -ia sin theta e ^ {i theta } = (a cos theta + i (b sin alpha -a sin theta)) e ^ {i theta},}$

${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} cos ^ {2} theta + (b sin alpha -a sin theta) ^ {2}, ,}$

${ displaystyle b sin alpha = a sin theta pm { sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta}}, ,}$

${ displaystyle r ^ {2} = b ^ {2} cos ^ {2} alpha = b ^ {2} -b ^ {2} sin ^ {2} alpha = b ^ {2} - left [a sin theta pm { sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta}} right] ^ {2}., ,}$

Kartézské souřadnice

Rozšíření polární rovnice dává

${ displaystyle r ^ {2} = b ^ {2} - (a ^ {2} sin ^ {2} theta + c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta pm 2a sin theta { sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta}}), ,}$

${ displaystyle r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} + 2a ^ {2} sin ^ {2} theta = pm 2a sin theta { sqrt {c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta}}), ,}$

${ displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} (r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) sin ^ {2} theta + 4a ^ {4} sin ^ {4} theta = 4a ^ {2} sin ^ {2} theta ( c ^ {2} -a ^ {2} cos ^ {2} theta), ,}$

${ displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} (r ^ {2} -b ^ {2} ) sin ^ {2} theta = 0, ,}$

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2 } + 4a ^ {2} y ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} -b ^ {2}) = 0. ,}$

Pronájem d ²=A²+b²–C² zjednodušuje to

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} -d ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} y ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} -b ^ {2}) = 0. ,}$

Forma křivky

Konstrukce vyžaduje čtyřúhelník se stranami 2A, b, 2C, b. Jakákoli strana musí být menší než součet zbývajících stran, takže křivka je prázdná (alespoň ve skutečné rovině), pokud A<b+C a C<b+A.

Křivka má v počátku bod křížení, pokud existuje trojúhelník se stranami A, b a C. Vzhledem k předchozím podmínkám to znamená, že křivka protíná počátek právě tehdy b<A+C. Li b=A+C pak se dvě větve křivky setkávají v počátku se společnou vertikální tečnou, což z ní dělá čtyřnásobný bod.

Dáno b<A+C, tvar křivky je určen relativní velikostí b a d. Li d je imaginární, tedy pokud A²+b² <C² pak má křivka tvar osmičky. Li d je 0, pak je křivka osmička se dvěma větvemi křivky mající společnou vodorovnou tečnu v počátku. Pokud 0 <d<b pak má křivka dva další dvojité body v ±d a křivka se v těchto bodech protíná. Celkový tvar křivky je v tomto případě podobný preclíku. Li d=b pak A=C a křivka se rozloží na kruh o poloměru b a a lemniscate Booth, křivka ve tvaru osmičky. Zvláštní případ je A=C, b=√2C který vyrábí lemniscate z Bernoulli. Nakonec, pokud d>b pak body ±d jsou stále řešení kartézské rovnice křivky, ale křivka tyto body neprotíná a jsou aknody. Křivka má opět tvar osmičky, i když je tvar zkreslený, pokud d je blízko b.

Dáno b>A+C, tvar křivky je určen relativní velikostí A a C. Li A<C pak má křivka tvar dvou smyček, které se navzájem protínají v ±d. Li A=C pak se křivka rozloží na kruh o poloměru b a ovál Bootha. Li A>C pak křivka nepřekračuje X-osa vůbec a skládá se ze dvou zploštělých oválů.^[2]

Wattova vazba

Když křivka protíná počátek, počátek je inflexní bod, a proto má kontakt řádu 3 s tečnou. Pokud však A²=b²+<C^{2[je zapotřebí objasnění ]} pak tečna má kontakt řádu 5 s tečnou, jinými slovy křivka je blízkou aproximací přímky. To je základ pro Wattovo propojení.

Viz také

• Vazba čtyř tyčí
• Wattova vazba

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Wattova křivka“. MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Wattova křivka“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Katalánština, E. (1885). „Sur la Courbe de Watt“. Matematika. PROTI: 154.
• Rutter, John W. (2000). Geometrie křivek. CRC Press. str.73ff. ISBN  1-58488-166-6.