Von Foersterova rovnice - Von Foerster equation
The McKendrick – von Foersterova rovnice je lineární prvního řádu parciální diferenciální rovnice se setkal v několika oblastech matematická biologie - například demografie a proliferace buněk modelování; aplikuje se, když je věková struktura důležitým prvkem v matematický model.[1] Poprvé to představil Anderson Gray McKendrick v roce 1926 jako deterministický limit mřížových modelů aplikovaných na epidemiologii a následně samostatně v roce 1959 autorem biofyzika profesor Heinz von Foerster pro popis buněčných cyklů.
Matematický vzorec
Matematický vzorec lze odvodit z prvních principů. Zní:
kde hustota obyvatelstva n(t,A) je funkcí věku A a čas t, a m(A) je funkce smrti.
Když m(A) = 0, máme:[1]
Souvisí to s tím, že populace stárne, a tato skutečnost je jediná, která ovlivňuje změnu hustoty obyvatelstva; záporné znaménko ukazuje, že čas plyne jen jedním směrem, že nedochází k porodu a populace vyhyne.
Derivace
Předpokládejme, že pro změnu času a změna věku , hustota obyvatelstva je:
Analytické řešení
Von Foersterova rovnice je a transportní rovnice; lze jej vyřešit pomocí charakteristiky.[1] Další způsob je řešení podobnosti; a třetí je numerický přístup, jako je konečné rozdíly.
K získání řešení je třeba přidat následující okrajové podmínky:
který uvádí, že počáteční narození by měla být zachována (jinak viz Sharpe – Lotka – McKendrickova rovnice), a že:
který uvádí, že je třeba uvést počáteční populaci; pak se bude vyvíjet podle parciální diferenciální rovnice.
Podobné rovnice
V Sebastian Aniţa, Viorel Arnăutu, Vincenzo Capasso. Úvod do problémů optimální kontroly v biologických vědách a ekonomii (Birkhäuser. 2011) se tato rovnice jeví jako zvláštní případ Sharpe – Lotka – McKendrickova rovnice; v druhém případě je příliv a matematika je založena na směrový derivát. McKendrickova rovnice se v kontextu buněčné biologie jeví jako dobrý přístup k modelování eukaryotického buněčného cyklu [2].
Viz také
- Metoda konečných rozdílů
- Parciální diferenciální rovnice
- Teorie obnovy
- Transportní rovnice
- Volterraova integrální rovnice
Reference
- ^ A b C MURRAY, J.D. Matematická biologie: úvod. třetí edice. Interdisciplinární aplikovaná matematika. Matematická biologie. Jaro: 2002.
- ^ Gavagnin, Enrico (14. října 018). "Rychlost invaze modelů migrace buněk s realistickým rozdělením času buněčného cyklu". Journal of Theoretical Biology. 79 (1): 91–99. arXiv:1806.03140. doi:10.1016 / j.jtbi.2018.09.010. PMID 30219568.