Náhodný model klastru - Random cluster model - Wikipedia

v fyzika, teorie pravděpodobnosti, teorie grafů atd model náhodného klastru je náhodný graf který zobecňuje a sjednocuje Isingův model, Pottsův model, a perkolační model. Používá se ke studiu náhodný kombinační struktury, elektrické sítě, atd.[1][2][3] To je také označováno jako RC model nebo někdy Zastoupení FK po jejích zakladatelích Kees Fortuin a Piet Kasteleyn.[4]

Definice

[je zapotřebí objasnění ]

Nechat G být graf. Předpokládejme hranu je otevřený s pravděpodobností str, kde říkáme , a je jinak uzavřen . Pravděpodobnost dané konfigurace je tedy

A to by vám dalo Erdős – Rényiho model (nezávislé hrany, produkt opatření ). Předpokládejme však, že je vážíte následujícím způsobem. Nechat být počet otevřených klastrů konfigurace (počet připojené komponenty v podgrafu všech otevřených hran ). Nechat q být pozitivní skutečný. Poté definujte novou váženou míru jako

Tady Z je funkce oddílu nebo součet za všechny konfigurace:

Tento výsledný model je známý jako model náhodného klastru nebo RCM v krátkosti.

Vztah k jiným modelům

Existují dva případy: q ≤ 1 a q ≥ 1. První zvýhodňuje méně shluků, zatímco druhý upřednostňuje mnoho shluků. Když q = 1, hrany jsou otevřené a uzavřené nezávisle na sobě a model se redukuje na perkolaci a náhodné grafy.[2]

Jedná se o zobecnění Tutteův polynom. Limit jako q ↓ 0 popisuje lineární odporové sítě.[1]

Jedná se o speciální případ exponenciální modely náhodných grafů.

Historie a aplikace

RC modely byly představeny v roce 1969 společnostmi Fortuin a Kasteleyn, hlavně k řešení kombinatorických problémů.[1][3][5] Po jejich zakladatelích se někdy označuje jako Modely FK.[4] V roce 1971 ji použili k získání Nerovnost FKG. Post 1987, zájem o model a aplikace v statistická fyzika reignited. Stala se inspirací pro Algoritmus Swendsen – Wang popisující časový vývoj Pottsových modelů.[6] Michael Aizenman, et al. použil to ke studiu fázové hranice v modelech 1D Ising a Potts.[7][3]

Viz také

Reference

  1. ^ A b C Fortuin; Kasteleyn (1972). „K modelu náhodných shluků: I. Úvod a vztah k jiným modelům“. Physica. 57 (4): 536. Bibcode:1972Phy .... 57..536F. doi:10.1016/0031-8914(72)90045-6.
  2. ^ A b Grimmett (2002). Msgstr "Náhodné modely klastrů". arXiv:matematika / 0205237.
  3. ^ A b C Grimmett. Model náhodného klastru. http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/rcm1-1.pdf.CS1 maint: umístění (odkaz)
  4. ^ A b NEWMAN, CHARLES M. „NEDORUŠENÉ ISINGOVÉ SYSTÉMY A ZASTOUPENÍ RANDOM CLUSTER“ (PDF).
  5. ^ Kasteleyn, P. W .; Fortuin, C. M. (1969). "Fázové přechody v mřížových systémech s náhodnými místními vlastnostmi". Physical Society of Japan Journal Supplement, sv. 26. Sborník z mezinárodní konference o statistické mechanice konané ve dnech 9. – 14. Září 1968 v Koyto., P.11. 26: 11. Bibcode:1969PSJJS..26 ... 11K.
  6. ^ Swendsen, Robert H .; Wang, Jian-Sheng (01.01.1987). „Neuniverzální kritická dynamika v simulacích Monte Carlo“. Dopisy o fyzické kontrole. 58 (2): 86–88. Bibcode:1987PhRvL..58 ... 86S. doi:10.1103 / PhysRevLett. 58,86. PMID  10034599.
  7. ^ Aizenman, M .; Chayes, J. T .; Chayes, L .; Newman, C. M. (duben 1987). "Fázová hranice ve zředěných a náhodných feromagnetech Ising a Potts". Journal of Physics A: Mathematical and General. 20 (5): L313 – L318. Bibcode:1987JPhA ... 20L.313A. doi:10.1088/0305-4470/20/5/010. ISSN  0305-4470.

externí odkazy