Turánovo síto - Turán sieve

Pál Turán

v teorie čísel, Turánovo síto je technika pro odhad velikosti "prosátých sad" kladná celá čísla které splňují soubor podmínek, které jsou vyjádřeny shody. Byl vyvinut společností Pál Turán v roce 1934.

Popis

Ve smyslu teorie sít Turánovo síto je kombinatorický typ: pocházející z rudimentární formy zásada začlenění - vyloučení. Výsledek dává horní hranice pro velikost proseté sady.

Nechat A být množina kladných celých čísel ≤ X a nechte P být soubor prvočísel. Pro každého p v P, nechť A_p označit sadu prvků A dělitelné p a rozšířit to nechat A_d být křižovatkou A_p pro p dělení d, když d je produktem různých prvočísel z P. Dále nechte A₁ označit A sám. Nechat z být kladné reálné číslo a P(z) označují produkt prvočísel v P které jsou ≤ z. Cílem síta je odhadnout

${displaystyle S (A, P, z) = leftvert Asetminus igcup _ {pmid P (z)} A_ {p} vertvert.}$

Předpokládáme, že |A_d| lze odhadnout, kdy d je prime p podle

${displaystyle leftvert A_ {p} ightvert = {frac {1} {f (p)}} X + R_ {p}}$

a kdy d je produktem dvou odlišných prvočísel d = p q podle

${displaystyle leftvert A_ {pq} ightvert = {frac {1} {f (p) f (q)}} X + R_ {p, q}}$

kde X   =   |A| a F je funkce s vlastností 0 ≤ F(d) ≤ 1. Put

${displaystyle U (z) = součet _ {pmid P (z)} f ​​(p).}$

Pak

${displaystyle S (A, P, z) leq {frac {X} {U (z)}} + {frac {2} {U (z)}} součet _ {pmid P (z)} leftvert R_ {p} ightvert + {frac {1} {U (z) ^ {2}}} součet _ {p, qmid P (z)} leftvert R_ {p, q} ightvert.}$

Aplikace

• The Hardy – Ramanujanova věta že normální pořadí ω (n), počet odlišných hlavní faktory čísla n, je log (log (n));
• Téměř všechny celočíselné polynomy (vzaty v pořadí podle výšky) jsou neredukovatelné.

Reference

• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. Úvod do sítových metod a jejich aplikací. Studentské texty London Mathematical Society. 66. Cambridge University Press. 47–62. ISBN  0-521-61275-6.
• Greaves, George (2001). Síta v teorii čísel. Springer-Verlag. ISBN  3-540-41647-1.
• Halberstam, Heini; Richert, H.-E. (1974). Sítové metody. Monografie London Mathematical Society. 4. Akademický tisk. ISBN  0-12-318250-6. PAN  0424730. Zbl  0298.10026.
• Christopher Hooley (1976). Aplikace sítových metod v teorii čísel. Cambridge University Press. str. 21. ISBN  0-521-20915-3.