Hardy – Ramanujanova věta - Hardy–Ramanujan theorem

v matematika, Hardy – Ramanujanova věta, prokázáno G. H. Hardy a Srinivasa Ramanujan  (1917 ), uvádí, že normální pořadí čísla ω (n) zřetelného hlavní faktory čísla n je log (log (n)).

Zhruba to znamená, že většina čísel má přibližně tento počet zřetelných hlavních faktorů.

Přesné prohlášení

Přesnější verze uvádí, že pro jakoukoli funkci se skutečnou hodnotou ψ (n), který má sklon k nekonečnu jako n inklinuje k nekonečnu

${displaystyle | omega (n) -log (log (n)) |$

nebo tradičněji

${displaystyle | omega (n) -log (log (n)) | <{(log (log (n)))} ^ {{frac {1} {2}} + varepsilon}}$

pro téměř všechny (až na nekonečně malý podíl) celá čísla. To je, pojďme G(X) je počet kladných celých čísel n méně než X pro které výše uvedená nerovnost selže: tedy G(X)/X konverguje k nule jako X jde do nekonečna.

Dějiny

Jednoduchý důkaz výsledku Turán (1934) byl dán Pál Turán, kteří používali Turánovo síto dokázat to

${displaystyle sum _ {nleq x} | omega (n) -log log n | ^ {2} ll xlog log x.}$

Zobecnění

Stejné výsledky platí pro Ω (n), počet hlavních faktorů n počítáno s multiplicita.Tuto větu zobecňuje Erdős – Kacova věta, což ukazuje, že ω (n) je v zásadě normálně distribuováno.

Reference

• Hardy, G. H.; Ramanujan, S. (1917), "Normální počet hlavních faktorů čísla n", Quarterly Journal of Mathematics, 48: 76–92, JFM  46.0262.03
• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), „Erdős – Kacova věta a její zobecnění“, v De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (eds.), Anatomie celých čísel. Na základě workshopu CRM, Montreal, Kanada, 13. - 17. března 2006, Sborník CRM a poznámky k přednášce, 46, Providence, RI: Americká matematická společnost, str. 209–216, ISBN  978-0-8218-4406-9, Zbl  1187.11024
• Turán, Pál (1934), „K teorému Hardyho a Ramanujana“, Journal of the London Mathematical Society, 9 (4): 274–276, doi:10.1112 / jlms / s1-9.4.274, ISSN  0024-6107, Zbl  0010.10401
• Hildebrand, A. (2001) [1994], „Hardy-Ramanujanova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS