Trojúhelníkový čtyřstěn - Trirectangular tetrahedron

Trojúhelníkový čtyřstěn může být sestaven pomocí souřadnice oktant a letadlo protínající všechny 3 osy od počátku, například:
x> 0
y> 0
z> 0
a x / a + y / b + z / c <1

v geometrie, a trojstranný trojúhelník je čtyřstěn kde všechny tři čelní úhly najednou vrchol jsou správné úhly. Tento vrchol se nazývá pravý úhel trojbokého čtyřstěnu a obličej naproti tomu se nazývá základna. Tři hrany, které se setkávají v pravém úhlu, se nazývají nohy a kolmá z pravého úhlu k základně se nazývá nadmořská výška čtyřstěnu.

Pouze rozdvojený graf ${ displaystyle B_ {3}}$ Afinní skupina Coxeter má základní doménu trojúhelníkového čtyřstěnu.

Metrické vzorce

Pokud mají nohy délky a, b, c, pak má trojboký trojúhelník čtyřstěn hlasitost

${ displaystyle V = { frac {abc} {6}}.}$

Nadmořská výška h splňuje^[1]

${ displaystyle { frac {1} {h ^ {2}}} = { frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {b ^ {2}}} + { frac {1} {c ^ {2}}}.}$

Oblast ${ displaystyle T_ {0}}$ základny je dáno^[2]

${ displaystyle T_ {0} = { frac {abc} {2h}}.}$

De Guova věta

Pokud plocha základny je ${ displaystyle T_ {0}}$ a oblasti tří dalších (pravoúhlých) obličejů jsou ${ displaystyle T_ {1}}$, ${ displaystyle T_ {2}}$ a ${ displaystyle T_ {3}}$, pak

${ displaystyle T_ {0} ^ {2} = T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2} + T_ {3} ^ {2}.}$

Toto je zevšeobecnění Pythagorova věta na čtyřstěn.

Celé číslo řešení

Perfektní tělo

Trojúhelníkový bipyramid s okraji (240, 117, 44, 125, 244, 267, 44, 117, 240)

Plocha základny (a, b, c) je vždy (Gua) iracionální číslo. Trojstranný čtyřstěn s celočíselnými hranami tedy nikdy není dokonalým tělem. Trirectangular bipyramid (6 tváří, 9 hran, 5 vrcholů) postavený z těchto tříhranných čtyřstěnů a související levoruké spojené na jejich základnách mají racionální hrany, tváře a objem, ale vnitřní prostor-úhlopříčka mezi dvěma trojbokými vrcholy je stále iracionální. Pozdější je dvojnásobek nadmořská výška trojhranného čtyřstěnu a racionální část (prokázané)^[3] iracionální prostorová úhlopříčka souvisejícího Eulerova cihla (bc, ca, ab).

Celé hrany

Trojúhelníkové čtyřstěny s celočíselnými nohami ${ displaystyle a, b, c}$ a po stranách ${ displaystyle d = { sqrt {b ^ {2} + c ^ {2}}}, e = { sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}}, f = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ základního trojúhelníku existují, např. ${ displaystyle a = 240, b = 117, c = 44, d = 125, e = 244, f = 267}$ (objeveno 1719 Halckem). Zde je několik dalších příkladů s celočíselnými nohami a stranami.

    a B c d e f 

   240      117       44      125      244      267   275      252      240      348      365      373   480      234       88      250      488      534   550      504      480      696      730      746   693      480      140      500      707      843   720      351      132      375      732      801   720      132       85      157      725      732   792      231      160      281      808      825   825      756      720     1044     1095     1119   960      468      176      500      976     1068  1100     1008      960     1392     1460     1492  1155     1100     1008     1492     1533     1595  1200      585      220      625     1220     1335  1375     1260     1200     1740     1825     1865  1386      960      280     1000     1414     1686  1440      702      264      750     1464     1602  1440      264      170      314     1450     1464

Všimněte si, že některé z nich jsou násobky menších. Všimněte si také A031173.

Celé tváře

Trojúhelníkové čtyřstěny s celočíselnými plochami ${ displaystyle T_ {c}, T_ {a}, T_ {b}, T_ {0}}$ a nadmořská výška h existují, např. ${ displaystyle a = 42, b = 28, c = 14, T_ {c} = 588, T_ {a} = 196, T_ {b} = 294, T_ {0} = 686, h = 12}$ bez nebo ${ displaystyle a = 156, b = 80, c = 65, T_ {c} = 6240, T_ {a} = 2600, T_ {b} = 5070, T_ {0} = 8450, h = 48}$ s coprime ${ displaystyle a, b, c}$.

Viz také

• Disphenoid
• Goursat čtyřstěn
• Ortocentrický čtyřstěn
• Schläfli orthoscheme
• Standardní simplex
• Euler Brick

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Trojúhelníkový čtyřstěn". MathWorld.