Stopová vzdálenost - Trace distance

v kvantová mechanika a zejména kvantová informace a studium otevřené kvantové systémy, stopová vzdálenost T je metrický v prostoru matice hustoty a poskytuje míru rozlišitelnosti mezi dvěma stavy. Jedná se o kvantové zobecnění Kolmogorovova vzdálenost pro klasické rozdělení pravděpodobnosti.

Definice

Stopa vzdálenost je jen polovina stopová norma rozdílu matic:

${ displaystyle T ( rho, sigma): = { frac {1} {2}} || rho - sigma || _ {1} = { frac {1} {2}} mathrm { Tr} left [{ sqrt {( rho - sigma) ^ { dagger} ( rho - sigma)}} right].}$

(Norma trasování je Schattenova norma pro p= 1.) Účelem faktoru dva je omezit stopovou vzdálenost mezi dvěma maticemi normalizované hustoty na rozsah [0, 1] a zjednodušit vzorce, ve kterých se stopová vzdálenost objeví.

Protože hustotní matice jsou Hermitian,

${ displaystyle T ( rho, sigma) = { frac {1} {2}} mathrm {Tr} vlevo [{ sqrt {( rho - sigma) ^ {2}}} vpravo] = { frac {1} {2}} sum _ {i} | lambda _ {i} |,}$

Kde ${ displaystyle lambda _ {i}}$ jsou vlastní čísla hermitovské, ale ne nutně pozitivní matice ${ displaystyle ( rho - sigma)}$.

Fyzická interpretace

Použitím Hölderovy duality pro Schattenovy normy, stopovou vzdálenost lze zapsat variační formou jako ^[1]

${ displaystyle T ( rho, sigma) = { frac {1} {2}} sup _ {- mathbb {I} leq U leq mathbb {I}} mathrm {Tr} [U ( rho - sigma)] = sup _ {0 leq P leq mathbb {I}} mathrm {Tr} [P ( rho - sigma)].}$

Pokud jde o jeho klasický protějšek, stopová vzdálenost může souviset s maximální pravděpodobností rozlišení mezi dvěma kvantovými stavy:

Předpokládejme například Alice připravuje systém buď ve státě ${ displaystyle rho}$ nebo ${ displaystyle sigma}$, každý s pravděpodobností ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$ a pošle ji Bobovi, který musí rozlišovat mezi dvěma stavy pomocí binárního měření. Nechte Boba přiřadit výsledek měření ${ displaystyle 0}$ a a POVM živel ${ displaystyle P_ {0}}$ například výsledek ${ displaystyle 1}$ a prvek POVM ${ displaystyle P_ {1} = 1-P_ {0}}$ identifikovat stát ${ displaystyle rho}$ nebo ${ displaystyle sigma}$, resp. Jeho očekávaná pravděpodobnost správné identifikace příchozího stavu je pak dána

${ displaystyle p _ { text {guess}} = { frac {1} {2}} p (0 | rho) + { frac {1} {2}} p (1 | sigma) = { frac {1} {2}} mathrm {Tr} (P_ {0} rho) + { frac {1} {2}} mathrm {Tr} (P_ {1} sigma) = { frac { 1} {2}} left (1+ mathrm {Tr} left (P_ {0} ( rho - sigma) right) right).}$

Proto při použití optimálního měření má Bob maximální pravděpodobnost

${ displaystyle p _ { text {guess}} ^ { text {max}} = sup _ {P_ {0}} { frac {1} {2}} vlevo (1+ mathrm {Tr} left (P_ {0} ( rho - sigma) right) right) = { frac {1} {2}} (1 + T ( rho, sigma))}$

správné identifikace, ve kterém stavu Alice systém připravila.^[2].

Vlastnosti

Vzdálenost stopy má následující vlastnosti^[1]

• Jedná se o metriku v prostoru matic hustoty, tj. Je nezáporná, symetrická a splňuje nerovnost trojúhelníku, a ${ displaystyle T ( rho, sigma) = 0 šipka doleva rho = sigma}$
• ${ displaystyle 0 leq T ( rho, sigma) leq 1}$ a ${ displaystyle T ( rho, sigma) = 1}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle sigma}$ mít ortogonální podpěry
• Je zachována pod unitární transformace: ${ displaystyle T (U rho U ^ { dagger}, U sigma U ^ { dagger}) = T ( rho, sigma)}$
• Je smluvně pod trasovací mapy CP, tj. pokud ${ displaystyle Phi}$ je tedy mapa CPT ${ Displaystyle T ( Phi ( rho), Phi ( sigma)) leq T ( rho, sigma)}$
• Je konvexní v každém ze svých vstupů. Např. ${ displaystyle T ( sum _ {i} p_ {i} rho _ {i}, sigma) leq sum _ {i} p_ {i} T ( rho _ {i}, sigma)}$

Pro qubits, stopová vzdálenost se rovná polovině Euklidovská vzdálenost v Bloch reprezentace.

Vztah k jiným opatřením na dálku

Věrnost

The věrnost dvou kvantových stavů ${ displaystyle F ( rho, sigma)}$ souvisí se stopovou vzdáleností ${ displaystyle T ( rho, sigma)}$ nerovnostmi

${ displaystyle 1 - { sqrt {F ( rho, sigma)}} leq T ( rho, sigma) leq { sqrt {1-F ( rho, sigma)}} ,. }$

Horní hranice nerovnosti se stává rovností, když ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle sigma}$ jsou čisté stavy. [Všimněte si, že zde použitá definice Fidelity je druhou mocninou definice použité v Nielsen a Chuang]

Celková variační vzdálenost

Stopa vzdálenost je zobecněním celková variační vzdálenost a pro dvě matice hustoty dojíždění má stejnou hodnotu jako celková variační vzdálenost dvou odpovídajících rozdělení pravděpodobnosti.

Reference