Věta Taylor – Proudman - Taylor–Proudman theorem

v mechanika tekutin, Věta Taylor – Proudman (po Geoffrey Ingram Taylor a Joseph Proudman ) uvádí, že když je pevné tělo^{[je zapotřebí objasnění ]} se pohybuje pomalu uvnitř tekutiny, která se neustále otáčí s vysokou úhlová rychlost ${ displaystyle Omega}$ tekutina rychlost bude rovnoměrné podél jakékoli čáry rovnoběžné s osou otáčení. ${ displaystyle Omega}$ musí být velké ve srovnání s pohybem pevného těla, aby se Coriolisova síla velké ve srovnání s podmínkami zrychlení.

Derivace

The Navier-Stokesovy rovnice pro stabilní průtok, s nulou viskozita a tělesná síla odpovídající Coriolisově síle jsou

{ displaystyle rho ({ mathbf {u}} cdot nabla) { mathbf {u}} = { mathbf {F}} - nabla p,}

kde ${ displaystyle { mathbf {u}}}$ je rychlost tekutiny, ${ displaystyle rho}$ je hustota kapaliny a ${ displaystyle p}$ tlak. Pokud to předpokládáme ${ displaystyle F = nabla Phi = -2 rho mathbf { Omega} krát { mathbf {u}}}$ je skalární potenciál a advective termín vlevo může být zanedbáván (rozumné, pokud Rossbyho číslo je mnohem menší než jednota) a že tok je nestlačitelný (hustota je konstantní), rovnice se stanou:

{ displaystyle 2 rho mathbf { Omega} krát { mathbf {u}} = - nabla p,}

kde ${ displaystyle Omega}$ je úhlová rychlost vektor. Pokud kučera této rovnice je vzata, výsledkem je věta Taylor – Proudman:

{ displaystyle ({ mathbf { Omega}} cdot nabla) { mathbf {u}} = { mathbf {0}}.}

K tomu je třeba odvodit vektorové identity

{ displaystyle nabla times (A times B) = A ( nabla cdot B) - (A cdot nabla) B + (B cdot nabla) A-B ( nabla cdot A)}

a

{ displaystyle nabla times ( nabla p) = 0 }

a

{ displaystyle nabla times ( nabla Phi) = 0 }

(protože kučera gradientu se vždy rovná nule) ${ displaystyle nabla cdot { mathbf { Omega}} = 0}$ je také potřeba (úhlová rychlost je bez divergence).

Vektorová forma věty Taylor – Proudman je snad lépe pochopitelná rozšířením součinového produktu:

{ displaystyle Omega _ {x} { frac { částečné { mathbf {u}}} { částečné x}} + Omega _ {y} { frac { částečné { mathbf {u}}} { částečné y}} + Omega _ {z} { frac { částečné { mathbf {u}}} { částečné z}} = 0.}

V souřadnicích, pro které ${ displaystyle Omega _ {x} = Omega _ {y} = 0}$ , rovnice se redukují na

{ displaystyle { frac { částečné { mathbf {u}}} { částečné z}} = 0,}

-li ${ displaystyle Omega _ {z} neq 0}$ . Tím pádem, všichni tři složky vektoru rychlosti jsou rovnoměrné podél libovolné přímky rovnoběžné s osou z.

Taylorův sloup

The Taylorův sloup je imaginární válec promítaný nad a pod skutečný válec, který byl umístěn rovnoběžně s osou otáčení (kdekoli v toku, ne nutně ve středu). Tok bude křivit kolem imaginárních válců stejně jako skutečný díky Taylorově-Proudmanově větě, která uvádí, že tok v rotující, homogenní, neviditelné tekutině je 2-dimenzionální v rovině kolmé k ose rotace, a proto neexistuje kolísání průtoku podél ${ displaystyle { vec { Omega}}}$ osa, často považována za ${ displaystyle { hat {z}}}$ osa.

Taylorův sloup je zjednodušený experimentálně pozorovaný účinek toho, co se děje v zemských atmosférách a oceánech.

Dějiny

Výsledek známý jako Taylor-Proudmanova věta byl poprvé odvozen Sydneyem Samuelem Houghem (1870-1923), matematikem z Cambridge University, v roce 1897.^[1]^:506^[2] Proudman publikoval další derivaci v roce 1916 a Taylor v roce 1917, poté byl účinek experimentálně prokázán Taylorem v roce 1923.^[3]^:648^[4]^:245^[5]^[6]

Reference

^ Gill, Adrian E. (2016). Atmosféra - oceánská dynamika. Elsevier. ISBN 9781483281582.
^ Hough, SS (1. ledna 1897). „O aplikaci harmonické analýzy na dynamickou teorii přílivu a odlivu. Část I. O Laplaceových„ oscilacích prvního druhu “a o dynamice oceánských proudů“. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 189: 201–257. Bibcode:1897RSPTA.189..201H. doi:10.1098 / rsta.1897.0009.
^ Wu, J.-Z .; Ma, H.-Y .; Zhou, M.-D. (2006). Vorticita a dynamika vírů. Berlín: Springer. ISBN 9783540290285.
^ Longair, Malcolm (2016). Maxwell's Enduring Legacy: A Scientific History of the Cavendish Laboratory. Cambridge University Press. ISBN 9781316033418.
^ Proudman, J. (1. července 1916). „O pohybu pevných látek v kapalině s vířivostí“. Proc. R. Soc. Lond. A. 92: 408–424. Bibcode:1916RSPSA..92..408P. doi:10.1098 / rspa.1916.0026.
^ Taylor, G.I. (1. března 1917). "Pohyb pevných látek v tekutinách, když tok není irrotační". Proc. R. Soc. Lond. A. 93: 92–113. Bibcode:1917RSPSA..93 ... 99T. doi:10.1098 / rspa.1917.0007.

[1] Gill, Adrian E. (2016). Atmosféra - oceánská dynamika. Elsevier. ISBN 9781483281582.

[2] Hough, SS (1. ledna 1897). „O aplikaci harmonické analýzy na dynamickou teorii přílivu a odlivu. Část I. O Laplaceových„ oscilacích prvního druhu “a o dynamice oceánských proudů“. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 189: 201–257. Bibcode:1897RSPTA.189..201H. doi:10.1098 / rsta.1897.0009.

[3] Wu, J.-Z .; Ma, H.-Y .; Zhou, M.-D. (2006). Vorticita a dynamika vírů. Berlín: Springer. ISBN 9783540290285.

[4] Longair, Malcolm (2016). Maxwell's Enduring Legacy: A Scientific History of the Cavendish Laboratory. Cambridge University Press. ISBN 9781316033418.

[5] Proudman, J. (1. července 1916). „O pohybu pevných látek v kapalině s vířivostí“. Proc. R. Soc. Lond. A. 92: 408–424. Bibcode:1916RSPSA..92..408P. doi:10.1098 / rspa.1916.0026.

[6] Taylor, G.I. (1. března 1917). "Pohyb pevných látek v tekutinách, když tok není irrotační". Proc. R. Soc. Lond. A. 93: 92–113. Bibcode:1917RSPSA..93 ... 99T. doi:10.1098 / rspa.1917.0007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]