Hermitova interpolace - Hermite interpolation

v numerická analýza, Hermitova interpolace, pojmenoval podle Charles Hermite, je metoda interpolace datových bodů jako polynomiální funkce. Vygenerovaný interpolační polynom Hermita úzce souvisí s Newtonův polynom, v tom, že oba jsou odvozeny z výpočtu rozdělené rozdíly. Hermitův interpolační polynom však lze také vypočítat bez použití dělených rozdílů, viz Čínská věta o zbytku § Hermitova interpolace.

Na rozdíl od Newtonovy interpolace se Hermitova interpolace shoduje s neznámou funkcí jak ve sledované hodnotě, tak ve sledované hodnotě její první m deriváty. Tohle znamená tamto n(m + 1) hodnoty

${ displaystyle { begin {matrix} (x_ {0}, y_ {0}), & (x_ {1}, y_ {1}), & ldots, & (x_ {n-1}, y_ {n -1}), (x_ {0}, y_ {0} '), & (x_ {1}, y_ {1}'), & ldots, & (x_ {n-1}, y_ {n -1} '), vdots & vdots && vdots (x_ {0}, y_ {0} ^ {(m)}), & (x_ {1}, y_ {1} ^ {( m)}), & ldots, & (x_ {n-1}, y_ {n-1} ^ {(m)}) end {matrix}}}$

musí být znám, spíše než jen první n hodnoty požadované pro Newtonovu interpolaci. Výsledný polynom může mít maximálně stupeň n(m + 1) - 1, zatímco Newtonův polynom má maximální stupeň n - 1. (Obecně není třeba m být pevnou hodnotou; to znamená, že některé body mohou mít více známých derivátů než jiné. V tomto případě může mít výsledný polynom stupeň N - 1, s N počet datových bodů.)

Používání

Jednoduchý případ

Při použití dělených rozdílů pro výpočet Hermitova polynomu funkce FPrvním krokem je zkopírování každého bodu m krát. (Zde budeme uvažovat o nejjednodušším případě ${ displaystyle m = 1}$ pro všechny body.) Proto zadáno ${ displaystyle n + 1}$ datové body ${ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$a hodnoty ${ displaystyle f (x_ {0}), f (x_ {1}), ldots, f (x_ {n})}$ a ${ displaystyle f '(x_ {0}), f' (x_ {1}), ldots, f '(x_ {n})}$ pro funkci ${ displaystyle f}$ že chceme interpolovat, vytvoříme nový datový soubor

${ displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {2n + 1}}$

takhle

${ displaystyle z_ {2i} = z_ {2i + 1} = x_ {i}.}$

Nyní vytvoříme rozdělená tabulka rozdílů za body ${ displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {2n + 1}}$. U některých rozdělených rozdílů však

${ displaystyle z_ {i} = z_ {i + 1} naznačuje f [z_ {i}, z_ {i + 1}] = { frac {f (z_ {i + 1}) - f (z_ {i })} {z_ {i + 1} -z_ {i}}} = { frac {0} {0}}}$

což je nedefinováno. V tomto případě je rozdělený rozdíl nahrazen ${ displaystyle f '(z_ {i})}$. Všechny ostatní se počítají normálně.

Obecný případ

Obecně předpokládejme daný bod ${ displaystyle x_ {i}}$ má k deriváty. Pak datová sada ${ displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {N}}$ obsahuje k identické kopie ${ displaystyle x_ {i}}$. Při vytváření tabulky rozdělené rozdíly z ${ displaystyle j = 2,3, ldots, k}$ stejné hodnoty budou vypočítány jako

${ displaystyle { frac {f ^ {(j)} (x_ {i})} {j!}}.}$

Například,

${ displaystyle f [x_ {i}, x_ {i}, x_ {i}] = { frac {f '' (x_ {i})} {2}}}$

${ displaystyle f [x_ {i}, x_ {i}, x_ {i}, x_ {i}] = { frac {f ^ {(3)} (x_ {i})} {6}}}$

atd.

Příklad

Zvažte funkci ${ displaystyle f (x) = x ^ {8} +1}$. Vyhodnocení funkce a jejích prvních dvou derivací na ${ displaystyle x in {- 1,0,1 }}$, získáváme následující údaje:

X	ƒ(X)	ƒ'(X)	ƒ''(X)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Protože máme dva deriváty, se kterými můžeme pracovat, sestavíme množinu ${ displaystyle {z_ {i} } = {- 1, -1, -1,0,0,0,1,1,1 }}$. Naše rozdělená rozdílová tabulka je pak:

${ displaystyle { begin {array} {llcclrrrrr} z_ {0} = - 1 & f [z_ {0}] = 2 &&&&&&&& && { frac {f '(z_ {0})} {1}} = - 8 &&&&&&&& z_ {1} = - 1 & f [z_ {1}] = 2 && { frac {f '' (z_ {1})} {2}} = 28 &&&&&& && { frac {f '(z_ {1 })} {1}} = - 8 && f [z_ {3}, z_ {2}, z_ {1}, z_ {0}] = - 21 &&&&& z_ {2} = - 1 & f [z_ {2}] = 2 && f [z_ {3}, z_ {2}, z_ {1}] = 7 && 15 &&&& && f [z_ {3}, z_ {2}] = - 1 && f [z_ {4}, z_ {3}, z_ {2 }, z_ {1}] = - 6 && - 10 &&& z_ {3} = 0 & f [z_ {3}] = 1 && f [z_ {4}, z_ {3}, z_ {2}] = 1 && 5 && 4 && && { frac {f '(z_ {3})} {1}} = 0 && f [z_ {5}, z_ {4}, z_ {3}, z_ {2}] = - 1 && - 2 && - 1 & z_ { 4} = 0 & f [z_ {4}] = 1 && { frac {f '' (z_ {4})} {2}} = 0 && 1 && 2 && 1 && { frac {f '(z_ {4})} {1 }} = 0 && f [z_ {6}, z_ {5}, z_ {4}, z_ {3}] = 1 && 2 && 1 & z_ {5} = 0 & f [z_ {5}] = 1 && f [z_ {6}, z_ {5}, z_ {4}] = 1 && 5 && 4 && && f [z_ {6}, z_ {5}] = 1 && f [z_ {7}, z_ {6}, z_ {5}, z_ {4}] = 6 && 10 &&& z_ {6} = 1 & f [z_ {6}] = 2 && f [z_ {7}, z_ {6}, z_ {5}] = 7 && 15 &&&& && { frac {f '(z_ {6})} {1}} = 8 && f [z_ {8}, z_ {7}, z_ {6}, z_ {5}] = 21 &&&&& z_ {7} = 1 & f [z_ {7}] = 2 && { frac {f '' (z_ {7})} {2}} = 28 &&&&&& && { frac {f '(z_ {7})} {1}} = 8 &&&&&&&& z_ {8} = 1 & f [z_ {8} ] = 2 &&&&&&&&& konec {pole}}}$

a vygenerovaný polynom je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} P (x) & = 2-8 (x + 1) +28 (x + 1) ^ {2} -21 (x + 1) ^ {3} + 15x (x + 1) ^ {3} -10x ^ {2} (x + 1) ^ {3} & quad {} + 4x ^ {3} (x + 1) ^ {3} -1x ^ {3} ( x + 1) ^ {3} (x-1) + x ^ {3} (x + 1) ^ {3} (x-1) ^ {2} & = 2-8 + 28-21-8x + 56x-63x + 15x + 28x ^ {2} -63x ^ {2} + 45x ^ {2} -10x ^ {2} -21x ^ {3} & quad {} + 45x ^ {3} - 30x ^ {3} + 4x ^ {3} + x ^ {3} + x ^ {3} + 15x ^ {4} -30x ^ {4} + 12x ^ {4} + 2x ^ {4} + x ^ {4} & quad {} -10x ^ {5} + 12x ^ {5} -2x ^ {5} + 4x ^ {5} -2x ^ {5} -2x ^ {5} -x ^ { 6} + x ^ {6} -x ^ {7} + x ^ {7} + x ^ {8} & = x ^ {8} +1. End {zarovnáno}}}$

odečtením koeficientů z úhlopříčky dělené rozdílové tabulky a vynásobením kth koeficient o ${ displaystyle prod _ {i = 0} ^ {k-1} (x-z_ {i})}$, jako bychom to udělali při generování Newtonova polynomu.

Quintic Hermite Interpolation

Kvintická Hermitova interpolace založená na funkci (${ displaystyle f}$), jeho první (${ displaystyle f '}$) a druhé deriváty (${ displaystyle f ''}$) ve dvou různých bodech (${ displaystyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle x_ {1}}$) lze použít například k interpolaci polohy objektu na základě jeho polohy, rychlosti a zrychlení. Obecný tvar je dán vztahem:

${ displaystyle { begin {aligned} p (x) & = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + { frac {1} {2}} f '' (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {2} + { frac {f (x_ {1}) - f (x_ {0}) - f '(x_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) - { frac {1} {2}} f '' (x_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {2}} {(x_ {1} -x_ {0}) ^ {3}}} (x-x_ {0}) ^ {3} & + { frac {3f (x_ {0}) - 3f (x_ {1}) + left (2f '(x_ {0}) + f' (x_ {1}) right) (x_ {1} -x_ {0}) + { frac {1} {2}} f '' ( x_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {2}} {(x_ {1} -x_ {0}) ^ {4}}} (x-x_ {0}) ^ {3 } (x-x_ {1}) & + { frac {6f (x_ {1}) - 6f (x_ {0}) - 3 left (f '(x_ {0}) + f' (x_ {1}) right) (x_ {1} -x_ {0}) + { frac {1} {2}} left (f '' (x_ {1}) - f '' (x_ {0} ) right) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {2}} {(x_ {1} -x_ {0}) ^ {5}}} (x-x_ {0}) ^ {3} (x-x_ {1}) ^ {2} end {zarovnáno}}}$

Chyba

Zavolejte vypočítaný polynom H a původní funkce F. Hodnocení bodu ${ displaystyle x v [x_ {0}, x_ {n}]}$, chybová funkce je

${ displaystyle f (x) -H (x) = { frac {f ^ {(K)} (c)} {K!}} prod _ {i} (x-x_ {i}) ^ {k_ {i}}}$

kde C je v rozsahu neznámá ${ displaystyle [x_ {0}, x_ {N}]}$, K. je celkový počet datových bodů a ${ displaystyle k_ {i}}$ je počet známých derivátů ${ displaystyle x_ {i}}$ plus jedna.

Viz také

• Cubic Hermite spline
• Newtonova řada, také známý jako konečné rozdíly
• Nevillovo schéma
• Polynomiální interpolace
• Lagrangeova forma interpolačního polynomu
• Bernsteinova forma interpolačního polynomu
• Čínská věta o zbytku - Aplikace

Reference

• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas (2004). Numerická analýza. Belmont: Brooks / Cole.
• Spitzbart, A. (leden 1960), „Zobecnění Hermitova interpolačního vzorce“, Americký matematický měsíčník, 67 (1): 42–46, doi:10.2307/2308924, JSTOR  2308924

externí odkazy

• Poustevníci interpolační polynom v Mathworld