Identita determinanta společnosti Sylvesters - Sylvesters determinant identity - Wikipedia

v matice teorie, Sylvestrova determinující identita je identita užitečné pro hodnocení určitých typů determinanty. Je pojmenován po James Joseph Sylvester, který tuto totožnost bez důkazu uvedl v roce 1851.^[1]

Vzhledem k n-podle-n matice ${ displaystyle A}$, nechť ${ displaystyle det (A)}$ označit jeho determinant. Vyberte pár

${ displaystyle u = (u_ {1}, tečky, u_ {m}), v = (v_ {1}, tečky, v_ {m}) podmnožina (1, tečky, n)}$

z m- objednal prvek podmnožiny z ${ displaystyle (1, tečky, n)}$, kde m ≤ n.Nechat ${ displaystyle A_ {v} ^ {u}}$ označit (n−m)-podle-(n−m) submatice z ${ displaystyle A}$ získáno odstraněním řádků v ${ displaystyle u}$ a sloupce v ${ displaystyle v}$. Definujte pomocný m-podle-m matice ${ displaystyle { tilde {A}} _ {v} ^ {u}}$ jejichž prvky se rovnají následujícím determinantům

${ displaystyle ({ tilde {A}} _ {v} ^ {u}) _ {ij}: = det (A_ {v [{ hat {v}} _ {j}]}} {{[ { hat {u}} _ {i}]}),}$

kde ${ displaystyle u [{ hat {u_ {i}}}]}$, ${ displaystyle v [{ hat {v_ {j}}}]}$ označit m−1 podmnožiny prvků ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ získáno odstraněním prvků ${ displaystyle u_ {i}}$ a ${ displaystyle v_ {j}}$, resp. Pak je následující Sylvestrova určující identita (Sylvester, 1851):

${ displaystyle det (A) ( det (A_ {v} ^ {u})) ^ {m-1} = det ({ tilde {A}} _ {v} ^ {u}).}$

Když m = 2, toto je Desnanot-Jacobiho identita (Jacobi, 1851).

Viz také

• Weinstein – Aronszajn identita, což se někdy připisuje Sylvestrovi

Reference

Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.