Supermodulární funkce - Supermodular function

v matematika, funkce

${ displaystyle f colon mathbb {R} ^ {k} to mathbb {R}}$

je supermodulární -li

${ Displaystyle f (x uparrow y) + f (x downarrow y) geq f (x) + f (y)}$

pro všechny ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y in mathbb {R} ^ {k}}$, kde ${ displaystyle x uparrow y}$ označuje komponentní maximum a ${ displaystyle x downarrow y}$ komponentně minimum ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$.

Pokud -F je supermodulární F je nazýván submodulární, a pokud se nerovnost změní na rovnost, funkce je modulární.

Li F je dvakrát spojitě diferencovatelné, pak je supermodularity ekvivalentní podmínce^[1]

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z_ {i} , částečné z_ {j}}} geq 0 { mbox {pro všechny}} i neq j.}$

Supermodularita v ekonomii a teorii her

Koncept supermodularity se používá ve společenských vědách k analýze toho, jak agent rozhodnutí ovlivňuje pobídky ostatních.

Zvažte a symetrická hra s funkcí hladkého výplaty ${ displaystyle , f}$ definované nad akcemi ${ displaystyle , z_ {i}}$ dvou nebo více hráčů ${ displaystyle i v {1,2, tečky, N}}$. Předpokládejme, že akční prostor je spojitý; pro jednoduchost předpokládejme, že každá akce je vybrána z intervalu: ${ displaystyle z_ {i} v [a, b]}$. V této souvislosti supermodularita ${ displaystyle , f}$ znamená, že nárůst hráče ${ displaystyle , i}$je volba ${ displaystyle , z_ {i}}$ zvyšuje mezní výplatu ${ displaystyle df / dz_ {j}}$ akce ${ displaystyle , z_ {j}}$ pro všechny ostatní hráče ${ displaystyle , j}$. To znamená, že pokud nějaký hráč ${ displaystyle , i}$ zvolí vyšší ${ displaystyle , z_ {i}}$, všichni ostatní hráči ${ displaystyle , j}$ mají motivaci zvýšit jejich výběr ${ displaystyle , z_ {j}}$ také. Podle terminologie Bulowa Geanakoplos, a Klemperer (1985), ekonomové tuto situaci nazývají strategická komplementarita, protože strategie hráčů se navzájem doplňují.^[2] Toto je základní vlastnost podkladových příkladů vícenásobné rovnováhy v koordinační hry.^[3]

Opačný případ submodulity ${ displaystyle , f}$ odpovídá situaci strategická zastupitelnost. Nárůst v ${ displaystyle , z_ {i}}$ snižuje mezní výplatu pro volby všech ostatních hráčů ${ displaystyle , z_ {j}}$, takže strategie jsou náhražky. To je, pokud ${ displaystyle , i}$ zvolí vyšší ${ displaystyle , z_ {i}}$, ostatní hráči mají motivaci vybrat a dolní ${ displaystyle , z_ {j}}$.

Například Bulow a kol. zvažte interakce mnoha nedokonale konkurenceschopný firmy. Když zvýšení produkce jedné firmy zvýší mezní výnosy ostatních firem, jsou rozhodnutí o výrobě strategickým doplňkem. Když zvýšení produkce jedné firmy sníží mezní výnosy ostatních firem, jsou rozhodnutí o výrobě strategickými náhražkami.

Supermodulární užitková funkce často souvisí s doplňkové zboží. Tento názor je však sporný.^[4]

Submodulární funkce podmnožin

Supermodularita a submodularita jsou také definovány pro funkce definované přes podmnožiny větší sady. Submodulární funkce nad podmnožinami intuitivně demonstruje „klesající výnosy“. Existují specializované techniky pro optimalizaci submodulárních funkcí.

Nechat S být konečnou sadou. Funkce ${ displaystyle f colon 2 ^ {S} to mathbb {R}}$ je submodulární, pokud pro nějaké ${ displaystyle A podmnožina B podmnožina S}$ a ${ displaystyle x v S setminus B}$, ${ displaystyle f (A cup {x }) - f (A) geq f (B cup {x }) - f (B)}$. Pro supermodulaci je nerovnost obrácena.

Definici subodularity lze ekvivalentně formulovat jako

${ displaystyle f (A) + f (B) geq f (A cap B) + f (A cup B)}$

pro všechny podskupiny A a B z S.

Viz také

• Pseudoboolovská funkce
• Topkisova věta
• Funkce podmodulární sady
• Superaditivum
• Úžitkové funkce na nedělitelném zboží

Poznámky a odkazy