Topkissova věta - Topkiss theorem - Wikipedia

v matematická ekonomie, Topkisova věta je výsledek, který je užitečný pro stanovení srovnávací statika. Věta umožňuje vědcům pochopit, jak se mění optimální hodnota pro vybranou proměnnou, když se změní rys prostředí. Výsledek uvádí, že pokud F je supermodulární v (X,θ), a D je mříž, pak ${ displaystyle x ^ {*} ( theta) = arg max _ {x v D} f (x, theta)}$ v zemi neklesá θ. Výsledek je zvláště užitečný pro stanovení srovnávacích statických výsledků, když objektivní funkce není diferencovatelná.

Příklad

Tento příklad ukáže, jak použití věty Topkis dává stejný výsledek jako použití více standardních nástrojů. Výhodou použití Topkisovy věty je, že ji lze aplikovat na širší třídu problémů, než kterou lze studovat pomocí standardních ekonomických nástrojů.

Řidič jede po dálnici a musí zvolit rychlost, s. Jít rychleji je žádoucí, ale je pravděpodobnější, že dojde k havárii. Existuje určitá prevalence výmolů, p. Přítomnost výmolů zvyšuje pravděpodobnost pádu. Všimněte si, že s je proměnná volby a p je parametr prostředí, který je fixován z pohledu řidiče. Řidič se snaží ${ displaystyle max _ {s} U (s, p)}$ .

Chtěli bychom pochopit, jak se rychlost řidiče (proměnná volby) mění s množstvím výmolů:

{ displaystyle { frac { částečné s ^ { ast} (p)} { částečné p}}.}

Pokud byste chtěli problém vyřešit pomocí standardních nástrojů, jako je věta o implicitní funkci, dalo by se předpokládat, že problém je dobře vychovaný: U(.) je dvakrát spojitě diferencovatelné, konkávní v s, že doména, nad kterou s je definováno, je konvexní a že existuje jedinečný maximalizátor ${ displaystyle s ^ { ast} (p)}$ pro každou hodnotu p a to ${ displaystyle s ^ { ast} (p)}$ je v interiéru soupravy, nad kterou s je definováno. Pamatujte, že optimální rychlost je funkcí množství výmolů. Když vezmeme podmínku první objednávky, víme, že v optimu, ${ displaystyle U_ {s} (s ^ { ast} (p), p) = 0}$ . Rozlišování podmínek prvního řádu s ohledem na p a pomocí věty o implicitní funkci to zjistíme

{ displaystyle U_ {ss} (s ^ { ast} (p), p) ( částečné s ^ { ast} (p) / ( částečné p)) + U_ {sp} (s ^ { ast } (p), p) = 0}

nebo tak

{ displaystyle { frac { částečné s ^ { ast} (p)} { částečné p}} = { podmnožina {{ text {negativní, protože jsme předpokládali}} U (.) { text {byl konkávní in}} s} { underbrace { frac {-U_ {sp} (s ^ { ast} (p), p)} {U_ {ss} (s ^ { ast} (p), p)} }}}.}

Tak,

{ displaystyle { frac { částečné s ^ { ast} (p)} { částečné p}} { nadměrné { text {sign}} {=}} U_ {sp} (s ^ { ast} (p), p).}

Li s a p jsou náhražky,

{ displaystyle U_ {sp} (s ^ { ast} (p), p) <0}

a tudíž

{ displaystyle { frac { částečné s ^ { ast} (p)} { částečné p}} <0}

a více výmolů způsobuje menší rychlost. Je zjevně rozumnější předpokládat, že jde o náhražky.

Problém výše uvedeného přístupu spočívá v tom, že se opírá o rozlišitelnost objektivní funkce a o konkávnost. Stejné odpovědi bychom mohli dosáhnout pomocí Topkisovy věty následujícím způsobem. Chceme to ukázat ${ displaystyle U (s, p)}$ je submodulární (opak supermodulární) v ${ displaystyle left (s, p right)}$ . Všimněte si, že výběr je jasně mřížka. Kříž částečný U být negativní, ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} U} { částečné s , částečné p}} <0}$ , je dostatečná podmínka. Proto pokud ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} U} { částečné s , částečné p}} <0,}$ víme, že ${ displaystyle { frac { částečné s ^ { ast} (p)} { částečné p}} <0}$ .

Proto pomocí věta o implicitní funkci a Topkisova věta dává stejný výsledek, ale ta druhá s menšími předpoklady.

Poznámky a odkazy

Amir, Rabah (2005). „Supermodularita a komplementarita v ekonomii: základní průzkum“. Southern Economic Journal. 71 (3): 636–660. doi:10.2307/20062066. JSTOR 20062066.
Topkis, Donald M. (1978). Msgstr "Minimalizace submodulární funkce na mřížce". Operační výzkum. 26 (2): 305–321. CiteSeerX 10.1.1.557.5908. doi:10.1287 / opre.26.2.305.
Topkis, Donald M. (1998). Supermodularita a komplementarita. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03244-3.